南通市2022届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．命题“，”的否定是“▲”．【答案】，2．设(为虚数单位，，)，则的值为▲．【答案】03．设集合，，则▲．I←1WhileI<7S←2I+1I←I+2EndWhilePrintS（第4题）【答案】4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为▲．【答案】115．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为▲．【答案】0.026．若函数的图象与轴相邻两个交点间的距离为2，则实数的值为▲．【答案】7．在平面直角坐标系中，若曲线在(为自然对数的底数)处的切线与直线垂直，则实数的值为▲．【答案】AA 1B不C不B1不C1不D1不D不（第8题）8．如图，在长方体中，3cm，2cm，1cm，则三棱锥的体积为▲cm3．-17-【答案】19．已知等差数列的首项为4，公差为2，前项和为．若()，则的值为▲．【答案】710．设()是上的单调增函数，则的值为▲．【答案】611．在平行四边形中，，则线段的长为▲．BDC（第12题）A【答案】12．如图，在△ABC中，，，，点在边上，45°，则的值为▲．【答案】13．设，，均为大于1的实数，且为和的等比中项，则的最小值为▲．【答案】14．在平面直角坐标系中，圆：，圆：．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径r的取值范围是▲．【答案】二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）-17-ABCDMNQ（第15题）如图，在四面体中，平面平面，90°．，，分别为棱，，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．证明：（1）因为，分别为棱，的中点，所以，……2分又平面，平面，故平面．……6分（2）因为，分别为棱，的中点，所以，又°，故．……8分因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面．……11分又平面，平面平面．……14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“平面”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：-17-等级优良中不及格人数519233（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为，，，2名女生记为，．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．①写出所有等可能的基本事件；②求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件，“测试成绩为良”为事件，“测试成绩为中”为事件，事件，是互斥的. ……2分由已知，有． ……4分因为当事件，之一发生时，事件发生，所以由互斥事件的概率公式，得． ……6分（2）①有10个基本事件：，，，，，，，，，．……9分②记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件．在上述等可能的10个基本事件中，事件包含了，，，，，-17-． 故所求的概率为． 答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为． ……14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知向量(1，0)，(0，2).设向量()，，其中.（1）若，，求xy的值；（2）若xy，求实数的最大值，并求取最大值时的值.解：（1）（方法1）当，时，，()，……2分则．……6分（方法2）依题意，，……2分则．……6分（2）依题意，，，因为xy，-17-所以，整理得，，……9分令，则.……11分令，得或，又，故.0↘极小值↗列表：故当时，，此时实数取最大值.……14分（注：第（2）小问中，得到，，及与的等式，各1分．）18．（本小题满分16分）xyOPAF（第18题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，右焦点为.为椭圆上一点，且.（1）若，，求的值；（2）若，求椭圆的离心率；-17-（3）求证：以为圆心，为半径的圆与椭圆的右准线相切.解：（1）因为，，所以，即，由得，，即,……3分又，所以，解得或(舍去)．……5分（2）当时,，由得，，即，故，……8分所以，解得（负值已舍）．……10分（3）依题意，椭圆右焦点到直线的距离为，且，①由得，,即,②由①②得，，解得或(舍去).……13分所以，所以以为圆心，为半径的圆与右准线相切.……16分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线的距离为-17-，得1分；直接使用焦半径公式扣1分．）19．（本小题满分16分）设，函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（3）当时，求函数零点的个数．解：（1）若为奇函数，则，令得，，即，所以，此时为奇函数．……4分（2）因为对任意的，恒成立，所以．当时，对任意的，恒成立，所以；……6分当时，易得在上是单调增函数，在上是单调减函数，在上是单调增函数，当时，，解得，所以；当时，，解得，所以a不存在；当时，，解得，所以；-17-综上得，或．……10分（3）设，令则，，第一步，令，所以，当时，，判别式，解得，；当时，由得，即，解得；第二步，易得，且，①若，其中，当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有2个不同的实根；当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有1个实根，从而方程有3个不同的实根；②若，其中，由①知，方程有3个不同的实根；③若，当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有1个实根；-17-当时，，记，因为对称轴，，且，，……14分记，则，故为上增函数，且，，所以有唯一解，不妨记为，且，若，即，方程有0个实根；若，即，方程有1个实根；若，即，方程有2个实根，所以，当时，方程有1个实根；当时，方程有2个实根；当时，方程有3个实根．综上，当时，函数的零点个数为7；当时，函数的零点个数为8；当时，函数的零点个数为9．……16分（注：第（1）小问中，求得后不验证为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）20．（本小题满分16分）设是公差为的等差数列，是公比为()的等比数列．记．（1）求证：数列为等比数列；-17-（2）已知数列的前4项分别为4，10，19，34．①求数列和的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合，，…，(，)，使得数列，，…，为等差数列？证明你的结论．解：（1）证明：依题意，，……3分从而，又，所以是首项为，公比为的等比数列．……5分（2）①法1：由（1）得，等比数列的前3项为，，，则，解得，从而，……7分且解得，，所以，．……10分法2：依题意，得……7分消去，得-17-消去，得消去，得，从而可解得，，，，所以，．……10分②假设存在满足题意的集合，不妨设，，，，且，，，成等差数列，则，因为，所以，①若，则，结合①得，，化简得，，②因为，，不难知，这与②矛盾，所以只能，同理，，所以，，为数列的连续三项，从而，即，故，只能，这与矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合．……16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）-17-南通市2022届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）BACPO（第21-A题）如图，从圆外一点引圆的切线及割线，为切点．求证：．证明：因为PC为圆的切线，所以，……3分又，故△∽△，……7分所以，即．……10分B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设是矩阵的一个特征向量，求实数的值．-17-解：设是矩阵属于特征值的一个特征向量，则，……5分故解得……10分C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线与曲线相交于，两点，求线段中点的极坐标．解：（方法1）将直线化为普通方程得，，将曲线化为普通方程得，,……4分联立并消去得，，解得，，所以AB中点的横坐标为，纵坐标为，……8分化为极坐标为．……10分（方法2）联立直线与曲线的方程组……2分消去，得，-17-解得，，……6分所以线段中点的极坐标为，即．……10分（注：将线段中点的极坐标写成的不扣分．）D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数，，满足，求证：．证明：由柯西不等式，得，……6分因为，故，……8分当且仅当，即，，时取“”．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．（1）求，的值；（2）过点作垂直于轴，为垂足，直线与抛物线的另一交点为，点在直线B（第22题）yxOACPM上．若，，的斜率分别为，，，且-17-，求点的坐标．解：（1）将点代入，得，……2分将点代入，得，因为，所以．……4分（2）依题意，的坐标为，直线的方程为，联立并解得，……6分所以，代入得，，……8分从而直线的方程为，联立并解得．……10分23．（本小题满分10分）设A，B均为非空集合，且AB，AB，…，(3，)．记A，B中元素的个数分别为a，b，所有满足“aB，且b”的集合对(A，B)的个数为．（1）求a3，a4的值；（2）求．解：（1）当3时，AB{1，2，3}，且AB，-17-若a1，b2，则1，2，共种；若a2，b1，则2，1，共种，所以a3；……2分当4时，AB{1，2，3，4}，且AB，0↘极小值↗若a1，b3，则1，3，共种；若a2，b2，则2，2，这与AB矛盾；若a3，b1，则3，1，共种，所以a4．……4分（2）当为偶数时，AB{1，2，3，…，n}，且AB，若a1，b，则1，，共（考虑）种；若a2，b，则2，，共（考虑）种；……若a，b，则，，共（考虑）种；若a，b，则，，这与AB矛盾；若a，b，则，，共（考虑）种；……若a，b，则，1，共（考虑）种，所以an……；……8分当为奇数时，同理得，an…，综上得，……10分-17-
