2022-2022学年江苏省南通市海安县高三（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜9}，则A∩B= ．2．设a，b∈R，i为虚数单位，若（a+bi）•i=2﹣5i，则ab的值为 ．3．在平面直角坐标系xOy，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个渐近线的方程为y=x，则该双曲线的离心率为 ．4．已知一组数据9.8，10.1，10，10.2，9.9，那么这组数据的方差为 ．5．如图是一个算法流程图，运行后输出的结果是 ．6．若函数是偶函数，则实数a的值为 ．7．正四棱锥的底面边长为2cm，侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该四棱锥的侧面积为 cm2．8．将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数φ的值为 ．9．二次函数y=f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应如表：x﹣4﹣3﹣2﹣10123y60﹣4﹣6﹣6﹣406则关于x的不等式f（x）≤0的解集为 ．10．在正五边形ABCDE中，已知•=9，则该正五边形的对角线的长为 ．11．用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是 ．19/2012．若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围是 ．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣1，0），Q（2，1），直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是 ．14．在平面直角坐标系xOy中，将函数y=﹣（x∈[0，2]）的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ，若∀θ∈[0，a]，旋转后所得的曲线都是某个函数的图象，则a的最大值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15．已知θ∈（，），sin（θ﹣）=．（1）求sinθ的值；（2）求cos（2θ+）的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．19/2018．如图，扇形AOB是一个植物园的平面示意图，其中∠AOB=，半径OA=OB=1km，为了便于游客观赏，拟在圆内铺设一条从入口A到出口B的观赏道路，道路由弧，线段CD，线段DE和弧组成，且满足：=，CD∥AO．DE∥OB，OD∈[，]（单位：km），设∠AOC=θ．（1）用θ表示CD的长度，并求出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，观赏道路最长？19．已知公差不为0的等差数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且数列{}是等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设lgbn=（n∈N*），问：b1，bk，bm（k，m均为正整数，且1＜k＜m）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由．20．设a为正实数，函数f（x）=ax，g（x）=lnx．（1）求函数h（x）=f（x）•g（x）的极值；（2）证明：∃x0∈R，使得当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立． 四、选做题从21-24题中任选2个小题，每小题10分，共20分21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．23．已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆心的极坐标．24．设a，b是非负实数，求证：a3+b3≥（a2+b2）．25．一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；记抽取的不合格产品数为ξ．19/20（1）分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x，设点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，（P在Q的上方）．（1）若t=1，直线PQ的倾斜角为，求直线PA的斜率；（2）求证：∠PAO=∠QAO． 19/202022-2022学年江苏省南通市海安县高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜9}，则A∩B= {x|1＜x＜3} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴集合A∩B={x|1＜x＜3}．故答案为：{x|1＜x＜3}． 2．设a，b∈R，i为虚数单位，若（a+bi）•i=2﹣5i，则ab的值为 10 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由（a+bi）•i=2﹣5i，得﹣b+ai=2﹣5i，即可求出a、b的值，则答案可求．【解答】解：由（a+bi）•i=2﹣5i，得﹣b+ai=2﹣5i，即a=﹣5，b=﹣2．则ab=﹣5×（﹣2）=10．故答案为：10． 3．在平面直角坐标系xOy，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个渐近线的方程为y=x，则该双曲线的离心率为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程y=±x，由题意可得b=a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线的方程为y=x，可得b=a，即有c==2a，即有e==2．故答案为：2． 4．已知一组数据9.8，10.1，10，10.2，9.9，那么这组数据的方差为 0.02 ．【考点】极差、方差与标准差．19/20【分析】先计算数据的平均数，代入方差公式，可得答案．【解答】解：9.8，10.1，10，10.2，9.9的平均数为10，故方差s2=[（9.8﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.9﹣10）2]=0.02，故答案为：0.02 5．如图是一个算法流程图，运行后输出的结果是 25 ．【考点】程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到结果为s=1，n=3，此时满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为s=4，n=5，此时满足判断框的条件经过第三次循环得到结果为s=9，n=7，此时满足判断框的条件经过第四次循环得到结果为s=16，n=9，此时满足判断框的条件，经过第四次循环得到结果为s=25，i=11，此时不满足判断框的条件，执行输出s，即输出25，故答案为：25． 6．若函数是偶函数，则实数a的值为 ﹣ ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣． 7．正四棱锥的底面边长为2cm，侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该四棱锥的侧面积为 8 cm2．19/20【考点】二面角的平面角及求法．【分析】在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD边长为2cm，侧面VAB与底面ABCD所成二面角的大小为60°，过V作平面ABC的垂线VO，交平面ABC于O点，过O作OE⊥AB，交AB于E，连结VE，则∠VEO是二面角V﹣AB﹣C的平面角，由此示出VE=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．【解答】解：如图，在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD边长为2cm，侧面VAB与底面ABCD所成二面角的大小为60°，过V作平面ABC的垂线VO，交平面ABC于O点，过O作OE⊥AB，交AB于E，连结VE，则∠VEO是二面角V﹣AB﹣C的平面角，∴∠VEO=60°，∵OE=AE=BE=1，∴VE==2，∴cos=，∴该四棱锥的侧面积S=4×（）=8．故答案为：8． 8．将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数φ的值为 4﹣π ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移2个单位后，得到y=sin[2（x﹣2）+φ]=sin（2x﹣4+φ）的图象，再根据得到的函数图象关于原点对称，∴﹣4+φ=kπ，k∈Z，则实数φ的值为4﹣π，故答案为：4﹣π． 9．二次函数y=f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应如表：x﹣4﹣3﹣2﹣10123y60﹣4﹣6﹣6﹣406则关于x的不等式f（x）≤0的解集为 [﹣3，2] ．19/20【考点】二次函数的性质．【分析】由表中数据可看出f（x）过点（﹣3，0），（0，﹣6），（2，0），将这三点的坐标分别带入f（x）便可得出关于a，b，c的方程组，可解出a，b，c的值，从而可以解一元二次不等式f（x）≤0，这样即可得出该不等式的解集．【解答】解：根据条件知，f（x）过点（﹣3，0），（0，﹣6），（2，0）；∴；解得；∴f（x）=x2+x﹣6；∴解x2+x﹣6≤0得，﹣3≤x≤2；∴f（x）≤0的解集为[﹣3，2]．故答案为：[﹣3，2]． 10．在正五边形ABCDE中，已知•=9，则该正五边形的对角线的长为 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设该正五边形的边长为x，由于•=9，可得x•2xcos36°•cos36°=9，即可得出该正五边形的对角线的长2xcos36°．【解答】解：设该正五边形的边长为x，∵•=9，∴x•2xcos36°•cos36°=9，∴x=，∴该正五边形的对角线的长2xcos36°=．故答案为：3． 11．用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是 ．【考点】归纳推理．【分析】由图形可知各图形中的黑色积木和白色积木分别成等差数列，求出积木总个数，使用古典概型的概率计算公式计算概率．【解答】解：由图可知第1个图形由1个黑色积木，6个白色积木，第二个图形有2个黑色积木，10个白色积木，第三个图形有3个黑色积木，14个白色积木，19/20依此类推，故图形中的黑色积木数组成一个等差数列，公差为1，白色积木数组成一个等差数列，公差为4．从而前8个图形共有黑色积木个数为8×1+=36，共有白色积木个数为8×6+=160．∴取出黑色积木的概率P==．故答案为． 12．若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围是 [0，3] ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x﹣a）2为减函数，当x＞0时，求出函数f（x）的最小值f（1）≥f（0），进而得到实数a的取值范围．【解答】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x﹣a）2为减函数，故a≥0；当x＞0时，f′（x）=1﹣=，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1，即当x=1时函数取得极小值同时也是最小值f（1）=1﹣ln1+5+a=6+a，则满足f（1）≥f（0），即6+a≥a2，得a2﹣a﹣6≤0，解得：﹣2≤a≤3，∵a≥0，∴0≤a≤3综上所述实数a的取值范围是[0，3]，故答案为：[0，3]． 13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣1，0），Q（2，1），直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是 ．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，可得a（2x+y）+c（y+2）=0，令，可得直线l：ax+by+c=0，恒经过定点M（1，﹣2）．由于PH⊥l，可得点H在以PM为直径的圆上，其圆心C（0，﹣1）．圆的方程为：x2+（y+1）2=8．则|QC|﹣r≤|QH|≤|QC|+r．【解答】解：直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，∴ax+y+c=0，化为a（2x+y）+c（y+2）=0，令，解得x=1，y=﹣2．∴直线l：ax+by+c=0，恒经过定点M（1，﹣2）．∵PH⊥l，19/20∴点H在以PM为直径的圆上，其圆心C（0，﹣1）．圆的方程为：x2+（y+1）2=8．|QC|=2．∴|QC|﹣r≤|QH|≤|QC|+r，线段QH的取值范围是．故答案为：． 14．在平面直角坐标系xOy中，将函数y=﹣（x∈[0，2]）的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ，若∀θ∈[0，a]，旋转后所得的曲线都是某个函数的图象，则a的最大值为 60° ．【考点】曲线与方程．【分析】确定函数在x=0处，函数图象的切线斜率，可得倾斜角，从而可得结论．【解答】解：由题意，函数图象如图所示，函数在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数．设函数在x=0处，切线斜率为k，则k=f'（0）∵f'（x）=•，∴k=f'（0）=，可得切线的倾斜角为30°，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90°，也就是说，最大旋转角为90°﹣30°=60°，即θ的最大值为60°．故答案为：60° 二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15．已知θ∈（，），sin（θ﹣）=．（1）求sinθ的值；（2）求cos（2θ+）的值．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式求得sinθ的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，两角和的余弦，求得要求式子的值．19/20【解答】解：（1）∵θ∈（，），sin（θ﹣）=，∴θ﹣∈（，π），cos（θ﹣）=﹣=﹣．∴sinθ=sin[（θ﹣）+]=sin（θ﹣）cos+cos（θ﹣）sin=+（﹣•）=﹣．（2）结合（1）可求cosθ=﹣=﹣，∴sin2θ=2sinθcosθ=2•（﹣）•（﹣）=，cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2•=，∴cos（2θ+）=cos2θ•cos﹣sin2θsin=﹣=． 16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．【解答】证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；19/20（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1． 17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得a2﹣b2=1，代入已知点，可得a，b的方程，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到P的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，又代入点（，1），可得+=1，解方程可得a=，b=，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意方程可得F（﹣1，0），设P（x，y），由PA=PF，可得=•，化简可得x2+y2=2，由c=1，即a2﹣b2=1，由椭圆+=1和圆x2+y2=2有交点，19/20可得b≤2≤a，又b=，可得2≤a≤，即有离心率e=∈[，]． 18．如图，扇形AOB是一个植物园的平面示意图，其中∠AOB=，半径OA=OB=1km，为了便于游客观赏，拟在圆内铺设一条从入口A到出口B的观赏道路，道路由弧，线段CD，线段DE和弧组成，且满足：=，CD∥AO．DE∥OB，OD∈[，]（单位：km），设∠AOC=θ．（1）用θ表示CD的长度，并求出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，观赏道路最长？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）根据三角形的角和边的关系，利用正弦定理，求得用θ表示OD和CD的长度，利用CD的取值范围，即可求得θ的取值范围；（2）首先将道路长度L（θ）表达成θ的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得θ=时，观光道路最长．．【解答】解：（1）AE=EB，CD∥AO．DE∥OB，∴∠AOD=，于是在△OCD中，OC=1，∠AOB=，∠AOC=θ．∠COD=﹣θ，由正弦定理可知：===2R，===，∴OD=sinθ，CD=sin（﹣θ），∵OD∈[，]，即≤sinθ≤，∴≤sinθ≤，∵0＜θ≤，19/20∴，故CD=sin（﹣θ），（），（2）由（1）可知，观赏道理长L=2（+CD）=2θ+sin（﹣θ），（），∴L=2θ+2cosθ﹣sinθ，L′=2﹣2sinθ﹣cosθ，=2﹣cos（θ﹣），L′=0，得cos（θ﹣）=，，θ=，∵当时，＜θ﹣≤﹣，L′=2﹣cos（θ﹣）＜0，∴当θ=时，L取得最大值，即观赏道路最长． 19．已知公差不为0的等差数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且数列{}是等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设lgbn=（n∈N*），问：b1，bk，bm（k，m均为正整数，且1＜k＜m）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（1）根据等差数列的定义与通项公式、前n项和公式，结合题意求出通项an；（2）假设存在正整数组k和m，使b1、bk，bm成等比数列，得出lgb1，lgbklg，bm成等差数列，由此求出满足条件的正整数k和m的值．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），因为a1=1，所以a2=1+d，a3=1+2d，从而S2=2+d，S3=3+3d，因为数列{}是等差数列，所以2×=+，即=1+，19/20化简得d2﹣d=0，而d≠0，所以d=1；故an=a1+（n﹣1）d=n；（2）假设存在正整数组k和m，使b1、bk、bm成等比数列，则lgb1，lgbk，lgbm成等差数列，于是=+，所以m=3m（﹣）…（*）；易知k=2，m=3满足（*）；因为k≥3，且k∈N*时，﹣=＜0；数列{}（k≥3，k∈N）为递减数列，于是﹣≤﹣＜0，所以，当k≥3时，不存在正整数k和m满足（*）；综上，当且仅当k=2，m=3时，b1，bk，bm成等比数列． 20．设a为正实数，函数f（x）=ax，g（x）=lnx．（1）求函数h（x）=f（x）•g（x）的极值；（2）证明：∃x0∈R，使得当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）h（x）=ax•lnx，（a＞0），则h′（x）=a（lnx+1），令h′（x）＞0，解得：x＞，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（x）极小值=h（）=﹣，无极大值；（2）g（x）=lnx，f（x）=ax，（x＞0），（a＞0）则g′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与g（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，19/20即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，g（x）与f（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立． 四、选做题从21-24题中任选2个小题，每小题10分，共20分21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，19/20连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO． 22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==． 23．已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆心的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，展开为：ρ2+2×（ρsinθ﹣ρcosθ）﹣4=0，利用即可得出．【解答】解：∵圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，展开为：ρ2+2×（ρsinθ﹣ρcosθ）﹣4=0，∴x2+y2+2y﹣2x﹣4=0，配方为（x﹣1）2+（y+1）2=6．19/20可得圆心坐标（1，﹣1），化为极坐标． 24．设a，b是非负实数，求证：a3+b3≥（a2+b2）．【考点】分析法和综合法．【分析】作差，再进行因式分解，分类讨论，即可证得结论．【解答】证明：由a，b是非负实数，作差得a3+b3﹣（a2+b2）=a2（﹣）+b2（﹣）=（﹣）[（）5﹣（）5]．当a≥b时，≥，从而（）5≥（）5，得（﹣）[（）5﹣（）5]≥0；当a＜b时，＜，从而（）5＜（）5，得（﹣）[（）5﹣（）5]＞0．所以a3+b3≥（a2+b2）． 25．一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；记抽取的不合格产品数为ξ．（1）分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）方式一中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布ξ～H（2，3，10），计算对应的概率；列出频率分布表；方式二中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从二项分布ξ～B（2，），计算对应的概率；列出频率分布表；（2）计算方式一与方式二中的数学期望（平均数），比较结果即可．【解答】解：（1）方式一中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布，ξ～H（2，3，10），于是P（ξ=0）==；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；因此ξ的频率分布可表示为下表：ξ012P方式二中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从二项分布，ξ～B（2，），于是P（ξ=0）=••=；P（ξ=1）=••=；P（ξ=2）=••；因此ξ的频率分布可表示为下表：19/20ξ012P（2）由（1）知，方式一中ξ的数学期望（平均数）为E（ξ）=0×+1×+2×=，方式二中ξ的数学期望（平均数）为E（ξ）=2×=，所以，两种方式抽到的不合格品平均数相等． 26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x，设点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，（P在Q的上方）．（1）若t=1，直线PQ的倾斜角为，求直线PA的斜率；（2）求证：∠PAO=∠QAO．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意写出直线PQ的方程，和抛物线联立，求得P的坐标，代入斜率公式得答案；（2）设直线PQ的方程为x=my+t，联立直线方程和抛物线方程求得P，Q的坐标，由斜率公式求得kPA=﹣kQA，从而得到∠PAO=∠QAO．【解答】（1）解：若t=1，直线PQ的倾斜角为，则直线PQ的方程为y=x﹣1，解方程组，得P（），∵A（﹣1，0），∴直线PA的斜率；（2）证明：∵直线PQ过点B（t，0），且与抛物线相交于P，Q两点，∴可设直线PQ的方程为x=my+t，联立方程组，得y2﹣4my﹣4t=0．解得：y=2m，于是P（），Q（），∴直线PA的斜率=，同理，直线QA的斜率，可得kPA=﹣kQA，则：∠PAO=∠QAO．19/20 19/20
