吴江平望中学2022—2022学年第一学期第二次阶段性测试高二数学试卷（满分：160分，考试时间：120分钟）2022年12月一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．抛物线的焦点坐标是▲．2、双曲线的渐近线方程为▲.3、焦距为8，短轴长为6，且焦点在轴上的椭圆的标准方程为▲.4．以为圆心，半径为的圆的标准方程为▲．5、若椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是▲.6．已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为▲．7、过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB＝7，则AB的中点到抛物线准线的距离为▲.8、棱长为的正方体的外接球的表面积为▲．9、已知直线与圆，则C上各点到的距离的最小值为▲.10．已知直线，，平面，，且，，给出下列命题：①若∥，则；②若，则∥；③若，则∥；④若∥，则．其中真命题的个数为▲.11、设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且，则双曲线的离心率为▲.12.已知椭圆内部的一点为，为右焦点，为椭圆上一动点，则的最小值为▲．-14-13、已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的一个端点为P，若为钝角，则椭圆离心率的取值范围为▲.14.已知椭圆的离心率为，过右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本题满分14分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，，离心率为；(2)焦点的坐标为，，渐近线方程为.16.(本题满分14分)-14-如图，四棱锥的底面是菱形，且，又是等边三角形，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面.17．（本题满分14分）已知圆：，点．（1）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程；-14-（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点记为，为坐标原点，且满足，求使得取得最小值时点的坐标．18.(本题满分16分)有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米.若行车道总宽度为米.(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；(2)现有一辆载重汽车宽米，高米，试判断该车能否安全通过隧道？-14-19.（本题满分16分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2,1)．若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴.（1）求椭圆的方程（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．20、（本题满分16分）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的方程；-14-（2）设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；（3）在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．-14-吴江平望中学2022—2022学年第一学期第二次阶段性测试高二数学试卷（满分：160分，考试时间：120分钟）2022年12月命题人：许建冬审核人：丁莉萍一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．抛物线的焦点坐标是▲．2、双曲线的渐近线方程为▲.3、焦距为8，短轴长为6，且焦点在轴上的椭圆的标准方程为▲.4．以为圆心，半径为的圆的标准方程为▲．5、若椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是.6．已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为▲．727.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为▲.8、棱长为的正方体的外接球的表面积为▲．9、已知直线与圆，则C上各点到的距离的最小值为.10．已知直线，，平面，，且，，给出下列命题：①若∥，则；②若，则∥；③若，则∥；④若∥，则．其中真命题的个数为．211、设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且，则双曲线的离心率为.-14-12.已知椭圆内部的一点为，为右焦点，为椭圆上一动点，则的最小值为▲．13、已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的一个端点为P，若为钝角，则椭圆离心率的取值范围为▲.14.已知椭圆的离心率为，过右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本题满分14分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，，离心率为；(2)焦点的坐标为，，渐近线方程为.15.解：(1)因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，其中.--------2分由及离心率得，，所以，-------5分所以，所求双曲线的标准方程为.---------------7分(2)由焦点的坐标为，知双曲线的焦点在轴上，故设双曲线的标准方程为，且，①----9分因为渐近线方程为，所以，②由①②得，，--------12分-14-所以，所求双曲线的标准方程为.-----------14分16.(本题满分14分)如图，四棱锥的底面是菱形，且，又是等边三角形，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面.16.(1)证明：连结.因为是菱形，且，且是等边三角形，因为是的中点，所以.是等边三角形，是的中点，所以，--------------------4分因为，平面，平面，所以平面，-------------------7分(2)证明：取中点，连结.-14-在中，分别为的中点，所以且，又是菱形，是的中点，所以且，从而且，故四边形是平行四边形，------------10分所以，又因为平面，平面，所以平面.---------------------14分17.(本题满分14分)已知圆：，点．（1）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程；（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点记为，为坐标原点，且满足，求使得取得最小值时点的坐标．17、解：圆方程可化为（1）当直线与轴垂直时，满足，所以此时．．．．．．．2分当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为，所以圆心到直线的距离．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分由点到直线的距离公式得解得所以直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以所求直线的方程为或．．．．．．．．．．．．．．7分-14-（2）因为，，化简得即点在直线上，．．．．10分当最小时，即取得最小，此时垂直直线所以的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分所以解得所以点的坐标为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分18．（本题满分16分）有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米.若行车道总宽度为米.(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；(2)现有一辆载重汽车宽米，高米，试判断该车能否安全通过隧道？17、解：(1)建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为，--------------2分根据题意，此抛物线经过点，代入抛物线方程解得，所以抛物线的方程为.---------------------6分在此方程中令，得，-------------------8分因此，，所以车辆通过隧道时的限制高度为米.----------------10分-14-(2)对于抛物线，令，得，-------------13分因为，所以，该车不能安全通过隧道.---------16分19.已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2,1)．若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴.（1）求椭圆的方程（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．19.解：（1）因为椭圆C的离心率为，且过点A(2,1)，所以，解得所以椭圆C的方程为--------6分（2）因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为－k.所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，直线AQ的方程为y－1＝－k(x－2)．设点，由得①-14-因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x＝2是方程①的一个根，则，所以同理所以又，所以直线PQ的斜率，所以直线PQ的斜率为定值，该值为.---------16分20、（本题满分16分）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；（3）在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．20.（本题满分16分）解⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．…4分⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为①联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或．……………10分⑶设点，则，直线的方程为，令，得，-14-将代入整理，得．②由得①代入②整理，得，所以直线与轴相交于定点．………………………………16分-14-
