2022-2022学年度第二学期高二期末调研测试数学（理科）试题（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．函数的最小正周期是▲．2．复数的虚部是▲．3．直三棱柱中，若，则▲．4．中，“”是“”的▲条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．5．幂函数过点，则▲．6．五名同学站成一排，甲不站在正中间，则不同的站法有▲（用数字作答）．7．如果复数满足，那么的最大值是▲．8．函数的单调递增区间是▲．9．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间恰好是4min的概率▲．10．若则▲．11．E，F是等腰直角△ABC斜边BC上的四等分点，则=▲．(第11题)O11514xy(第12题)12．函数，，在上的部分图象如图所示，则▲．-10-\n13．已知函数y=f(x)(x∈(0，2))的图象是如图所示的圆C的一段圆弧．现给出如下命题：O．Cxy(第13题)①；②；③为减函数；2④若，则a+b=2．其中所有正确命题的序号为▲．14．有个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为▲．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．16．（本小题满分14分）已知函数，．（1）若，求证：函数是上的奇函数；（2）若函数在区间没有零点，求实数的取值范围．17．（本小题满分14分）已知命题：“，使等式成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．-10-\n18．（本小题满分16分）设函数的定义域为，值域为．（1）若，判断实数与集合的关系；（2）若，，求实数的值．（3）若，，求的值．-10-\n19．（本小题满分16分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得．(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(2)若的三个内角满足,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断的形状．20．（本小题满分16分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若时，关于的方程有唯一解，求的值；（3）当时，证明:对一切，都有成立．-10-\n2022-2022学年度第二学期高二期末调研测试数学（理科）试题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21、已知的展开式中第3项与第2项系数的比是4，（1）求n的值；（2）展开式里所有x的有理项22、一个盒子里装有3张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4；另一个盒子也装有3张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量，（1）求事件发生的概率（2）求的分布列和数学期望．23、已知数列满足，且()．⑴求的值，并猜想的通项公式；⑵用数学归纳法证明你的猜想．24、已知边长为6的正方体，为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点，是的中点．（1）求与平面所成角的正弦值；（2）设点在线段上，且，试确定的值，使得二面角的余弦值为．-10-\n2022年6月高二期末调研测试理科数学试题参考答案数学Ⅰ试题参考答案与评分标准一、填空题：1．2．3．－+－4．充分不必要5．26．967．8．（写成开区间算对）9．10．11．12．13．①③④14．二、解答题：15．16解：（1）若为真，则不等式对恒成立，得，故为假时实数的范围是；………………………………6分（2）,即是的必要条件,是的充分条件,不等式对恒成立……………………………………10分对恒成立,,当且仅当时,等号成立.……………………………14分17．解：（1）定义域为关于原点对称．因为，所以函数是定义在上的奇函数（2）是实数集上的单调递增函数（不说明单调性扣2分）又函数的图象不间断，在区间恰有一个零点，有即解之得，故函数在区间没有零点时，实数的取值范围是………………………………………14分-10-\n18．解:（1）∵，∴当时，；当时，．∵，∴．………5分（2）令，即，，取；令，即，，取，故．………………………………………………………………9分（3）∵是偶函数，且，则函数在上是减函数，在上是增函数．∵，∴由题意可知：或．若，则有，即，整理得，此时方程组无解；若，则有，即，∴为方程，的两个根．∵，∴，∴，．……………16分19.解：(1)证明:因为，------①②①-②得③…令有，代入③得.………………8分（2）由得：。由（1）中结论得：。所以，即：-10-\n，又为的三个内角，故，所以是直角三角形。………………………………………………16分20.解：（Ⅰ）当时，，则。解得……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，①当时，，令得当变化时，的变化情况如下表：0—0+0—单调递减极小值单调递增极大值单调递减又，，。∴在上的最大值为2.②当时,.当时,,最大值为0；当时,在上单调递增。∴在最大值为。综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；当时，即时，在区间上的最大值为。…10分（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。不妨设，则，显然∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴即（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.若，则代入（*）式得：即，而此方程无解，因此。此时，代入（*）式得：即（**）令，则∴在上单调递增，∵∴,∴的取值范围是。∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。综上，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。……………16分数学Ⅱ试题参考答案与评分标准21、解：（1）由题设，得，………………………………3分-10-\n即，解得n＝9，n＝0（舍去）．…………………………4分（2）通项（根据题意：，解得3或9…………………………8分展开式里所有x的有理项为…………………………10分22、解析：（1）……3分（2）依题意，可分别取、6、7、8、9取，则有.的分布列为……8分567897……10分23、解：（1）由得，求得，，，猜想……5分(2)证明：①当时，猜想成立。②设当时时，猜想成立，即，则当时，有,所以当时猜想也成立综合①②，猜想对任何都成立。……10分24、解：如图建系：可得,,,.（1）设，,则；，-10-\n设与平面所成角为，=则与平面所成角的正弦值为．…………………………（5分）（2）由题知,,,设，已知面的法向量为设面的法向量为令，则面的法向量为二面角的余弦值为解得…………………………（10分）-10-
