2022-2022学年度秋学期江阴市三校高二期中联考数学试题(考试时间：120分钟总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案直接填在答题卡相应位置上．1.命题：“”的否定是▲．2.椭圆的焦距为▲．3.方程表示圆，则的取值范围是▲．4.已知命题：，命题：，则是的▲条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5.若直线与平行，则实数的值为▲．6.右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程为▲．7.圆锥的体积为，底面积为，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为▲．8.过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是▲．9.与圆外切于原点，且半径为的圆的标准方程为▲．10.设、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则的一个充分条件为▲．①；②；③；④.11.如图所示，分别是椭圆的右、上顶点，是的三等分点(靠近点)，为椭圆的右焦点，的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为▲．12.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，底面边长为，则这个球的表面积是▲．13.已知圆和两点,若圆上不存在点,使得为直角,则实数的取值范围是▲．14.已知圆对所有的且总存在直线与圆相切，则直线的方程为▲．二、解答题（本大题共有6小题，满分90分．需写出文字说明、推理过程或演算步骤．）15.（本小题满分14分）已知集合,,命题：,命题：方程表示焦点在轴上的椭圆.(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若“”为真，“”为假，求实数的取值范围．7\n16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面,，．设，分别为，中点.DEBAPC（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）试问在线段上是否存在点，使得过三点,,的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．17.（本小题满分14分）已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上中线所在直线的方程为.求:(1)点的坐标；（2）直线的方程．18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆经过，两点，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）过圆内一点作两条相互垂直的弦，当时，求四边形的面积.（3）设直线与圆相交于两点，，且的面积为，求直线的方程.19.（本小题满分16分）如图，在正方体的棱长为，为棱上的一动点.BACDB1A1C1D1E（1）若为棱的中点,①求四棱锥的体积②求证：面面（2）若面,求证：为棱的中点.7\n20.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率，为椭圆的左右焦点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆的圆心在轴上方，且圆经过椭圆两焦点.点为椭圆上的一动点,与圆相切于点．①当时,求直线的方程;②当取得最大值为时，求圆方程．7\n参考答案一、填空题（本大题共有14小题，每小题5分，共70分．）1.2.23.4.必要不充分5.6.7.8.9.10.②、③11.12.1613.14.二、解答题（本大题共有6小题，满分90分．）15.解：(1)由命题为真命题，则……………3分解得或……………5分(2)若命题为真命题,则……………8分∵“”为真，“”为假∴,一真一假……………9分若真假，则或…………11分；若假真，则……………13分综上:的取值范围为或,或……………14分16证明：（1）因为点是中点，点为的中点，所以∥．又因为面，面，所以∥平面．………….4分（2）因为平面面,平面平面=,又平面，，所以面.所以．又因为，且，所以面………9分（3）当点是线段中点时，过点,,的平面内的任一条直线都与平面平行．….10分取中点，连，连.由（Ⅰ）可知∥平面．因为点是中点，点为的中点，所以∥．又因为平面，平面，所以∥平面．7\n又因为，所以平面∥平面，所以平面内的任一条直线都与平面平行．故当点是线段中点时，过点,,所在平面内的任一条直线都与平面平行．…….14分17解：（1），且直线的斜率为∴直线的斜率为,∴直线的方程为即……3分由解得,∴……7分（2）设，则∴有∴……12分∴直线AC的方程为：即……14分18.解:（1）因为，，所以，AB的中点为，故线段AB的垂直平分线的方程为，即，…………2分由，解得圆心坐标为.…………3分所以半径r满足.…………4分故圆的标准方程为.…………5分（2）∵∴到直线的距离相等,设为………6分则………7分∴………8分∴四边形的面积………9分(3)设坐标原点到直线的距离为，因为.①当直线与x轴垂直时，由坐标原点到直线的距离为知，直线的方程为或，经验证，此时，不适合题意；…………11分②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为，由坐标原点到直线的距离为，得（*），……12分又圆心到直线的距离为，所以，7\n即（**），…………13分由（*），（**）解得.………15分综上所述，直线的方程为或.………16分19.证明（1）①∵正方体∴平面∴………2分②取的中点,设，连接，………3分因为，分别是与的中点，所以，且，BACDB1A1C1D1EFO又为中点，所以，且，从而，即四边形是平行四边形，所以，……………5分因为面，面，所以，所以…………7分又，所以…………8分且面，，所以面，…………9分又面，所以面面.………10分(2)同上可证得,,且又，从而所以四点共面………12分∵面,面,面面∴………14分∴四边形是平行四边形,∴∴∴为棱的中点………16分(注：学生用其他方法解答请酌情给分,如连接亦需证明与为何相交于)20.解:(1)∵∴……………1分∵椭圆过点，∴……………2分∴……………3分∴椭圆的标准方程……………4分(2)圆半径,圆方程为……………5分7\n∵与圆相切于点∴①把代入圆方程,解得……………6分求得……………7分∴直线的方程为……………8分(3)设∵∴又∴……………10分当时,且当时,的最大值为,则(舍)…12分当时,且当时,的最大值为,则(合)………15分综上,圆方程为…………16分(注：不讨论t的取值范围，直接说当时取最大值，得到，一律扣4分）7
