实验中学2022—2022学年度第一学期期中考试试题高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.命题“”的否定是.2.直线,分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则与的位置关系为.3.抛物线的准线方程为．4.“”是“方程表示椭圆”的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）5.已知直线,平面,且,给出下列命题:①若∥，则m⊥；②若⊥，则m∥;③若m⊥，则∥④若m∥，则⊥其中正确的命题是(填序号)．6.若圆锥的侧面展开图圆心角为，则圆锥的底面半径和母线之比为.7.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的方程为.8.已知或x>3，q:a<x<3a(a>0).若是q的充分不必要条件，则实数的取值范围是.9.长、宽、高分别为4，3，的长方体的外接球的表面积为.10.设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是．11.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为．12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线10\n的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为.13.已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．14.已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.(本题满分14分)已知命题p：；命题q：．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．16.(本题满分14分)河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行.17.(本题满分15分)如图，三棱台10\n的底面是直角三角形，为直角，侧棱底面.(1)求证：侧面；（2）已知,,求这个棱台的侧面积.18.(本题满分15分)如图，三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD//平面PEF？并说明理由；（3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥B—PEF的体积.19.(本题满分16分)如图，F1、F2分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C的方程和焦点坐标，离心率，准线方程；（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积.（3）若点N(1,1）,试在椭圆上找一点M,使MN+2MF2最小,并求出该最小值.20.(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆T的中心在坐标原点,一条准线方程为,且经过点(1,0).(1)求椭圆T的方程;(2)设四边形ABCD是矩形,且四条边都与椭圆T相切.①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上;②求矩形ABCD面积S的取值范围.10\n实验中学2022—2022学年度第一学期期中考试试题高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.命题“”的否定是.2.直线,分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则与的位置关系为.相交或异面3.抛物线的准线方程为．4.“”是“方程表示椭圆”的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）必要不充分．5.已知直线,平面,且,给出下列命题:①若∥，则m⊥；②若⊥，则m∥;③若m⊥，则∥④若m∥，则⊥其中正确的命题是(填序号)①④．6.若圆锥的侧面展开图圆心角为，则圆锥的底面半径和母线之比为.7.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的方程为8.已知或x>3，q:a<x<3a(a>0).若是q的充分不必要条件，则实数10\n的取值范围是.9.长、宽、高分别为4，3，的长方体的外接球的表面积为10.设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是．11.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为.13.已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则2．14.已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.(本题满分14分)已知命题p：；命题q：．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【解】：p是真命题对恒成立．而函数的最小值为1，所以使p为真命题的a的取值范围是．………5分q是真命题关于x的方程有解，即，亦即．所以使q为真命题的a的取值范围是．………10分命题“p且q”是真命题p，q都是真命题．………12分10\n故使p和q为真命题的a的取值范围是．………14分16.(本题满分14分)河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行.解：建立直角坐标系，设抛物线型拱桥方程为，过，.,………5分由于小船宽，当时，，即当船顶距抛物线拱顶为m时，小船恰好能通过.………10分又载货后，船露出水面上的部分高m.当水面距抛物线拱顶距离时，小船恰好能通行.………13分答：当水面上涨到与抛物线拱顶相距时，小船恰好能通行.………14分17.(本题满分15分)如图，三棱台的底面是直角三角形，为直角，侧棱底面.(1)求证：侧面；（2）已知,,求这个棱台的侧面积.【证】：（1）∵底面，∴,又为直角，∴,又,∴………7分【解】(2)在平面.∵∴.10\n又，故直角梯形………9分由于～,且由，可知,而由,故直角梯形.………12分又直角梯形………15分18.(本题满分15分)如图，三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD//平面PEF？并说明理由；（3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥B—PEF的体积.【证】（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BE又∵△ABC是正三角形，且E为AC的中点，∴BE⊥CA.又PACA=A，∴BE⊥平面PAC………3分∵BE平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC………5分【解】（2）取CD的中点F，则F即为所求………7分∵E、F分别为CA、CD的中点，∴EF//AD.又EF平面PEF，AD平面PEF，∴AD//平面PEF………10分（3）………15分19.(本题满分16分)如图，F1、F2分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和为4.10\n（1）求椭圆C的方程和焦点坐标，离心率，准线方程；（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积.（3）若点N(1,1）,试在椭圆上找一点M,使MN+2MF2最小,并求出该最小值.解：（1）由题设知：2a=4，即a=2；………1分将点代入椭圆方程得，解得b2=3；∴c2=a2－b2=4－3=1，故椭圆方程为，焦点F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0），，准线方程………5分（2）由（1）知，，∴PQ所在直线方程为,由得，………7分设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，………8分，………11分(3),………16分20.(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆T的中心在坐标原点,一条准线方程为,且经过点(1,0).(1)求椭圆T的方程;(2)设四边形ABCD是矩形,且四条边都与椭圆T相切.10\n①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上;②求矩形ABCD面积S的取值范围.【解】(1)因为椭圆T的中心在坐标原点,一条准线方程为有y=2,所以椭圆T的焦点在y轴上,于是可设椭圆T的方程为+=1(a>b>0).………………2分因为椭圆T经过点(1,0),所以解得故椭圆T的方程为.………………4分(2)由题意知,矩形ABCD是椭圆的外切矩形,①(i)若矩形ABCD的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为,则由消去y得,………………6分于是,化简得.所以矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为,即,则另一组对边所在直线的方程为,于是矩形顶点坐标(x,y)满足,即,亦即.………………8分(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴平行,则四个顶点显然满足.故满足条件的所有矩形的顶点在定圆上.………………10分②当矩形ABCD的边与坐标轴不平行时,由①知,一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长,于是矩形的一条边长为,另一条边长为.所以,………………12分令,则,于是.………14分10\n②若矩形ABCD的边与坐标轴平行,则.故S的取值范围是.………………16分10
