江苏省清江中学2022-2022学年高二上学期期末考试理科数学试题时间：120分钟满分：160分参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：，其中为样本平均数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．命题“，”的否定是▲．2．抛物线的准线方程为▲．3．在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ． 4．若复数()是纯虚数，则= ▲ ．5．某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为 ▲ ．6.右图是一个算法流程图，则输出S的值是 ▲ ．7.已知曲线在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为 ▲ ．8.一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为▲ ．9.已知等比数列中，有 成立．类似地，在等差数列中，有______▲ ___成立．10．为了改善中午放学时校门口交通状况，高二年级安排A、B、C三名学生会干部在周一至周五的5天中参加交通执勤，要求每人参加一天但每天至多安排一人，并要求A同学安排在另外两位同学前面．不同的安排方法共有 ▲ 种．（用数字作答）11．“”是“方程表示椭圆”的_____▲ _条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）12.函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ▲ ．14\n13.椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足，则的范围是▲ ．14.函数,其导函数为，则=▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）设p：复数在复平面上对应的点在第二或第四象限；q：函数在R上有极大值点和极小值点各一个．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．16.（本小题满分14分）高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率.14\n17.（本小题满分14分）对于一切，等式恒成立．（1）求的值；（2）用数学归纳法证明上面等式．18.（本小题满分16分）如图， 是边长为3的正方形，，，，与平面所成角为．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论．14\n19.（本小题满分16分）已知椭圆E:,以抛物线的焦点为顶点,且离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，直线：与轴交于点N，直线AF与BN交于点M.(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；(ⅱ)求△AMN面积的最大值． 20.（本小题满分16分）已知函数，设（1）求函数的单调区间；(2）若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；（3）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象在恰有两个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．14\n14\n江苏省清江中学2022-2022学年度第一学期期末考试高二数学试题（理科）答题纸一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1234567891011121314二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）14\n0.031000.0250.0150.0059080706050组距频率分数16.（本小题满分14分）17.（本小题满分14分）14\n18.（本小题满分16分）19.（本小题满分16分） 14\n20.（本小题满分16分）14\n江苏省清江中学2022-2022学年度第一学期期末考试高二数学试题（理科）参考答案与评分标准一、填空题：二、解答题：15.解：∵复数在复平面上对应的点在第二或第四象限，∴，即或.………………5分∵函数在R上有极大值点和极小值点各一个，∴有两个不同的解，即△＞0.由△＞0，得m＜－1或m＞4…………10分要使“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，………………12分∴．的取值范围为．………………14分16.解:（1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：………………………………3分所以低于60分的人数为（人）……………………………….5分（2）依题意，成绩80及以上的分数所在的第五、六组（低于50分的为第一组），频率和为所以，抽样学生成绩的优秀率是%……………………………………………………8分.于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为30%……………………………………9分.（3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9．所以从参加补考的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：…………………14分14\n17.解：(1)将代入等式得：解得：……………6分（2）由（1）得，下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=,右边=，等式成立；…………………………8分②假设n＝k时等式成立，即则n＝k＋1时，即n＝k＋1时等式成立.……………………12分由①②知，等式成立.…14分18.(1)证明：因为平面，,所以. ………2分因为是正方形，所以，又，从而平面.…… … …… ……4分（本小题也可用空间向量以算代证，参照给分）(2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即，……5分所以.由可知，. ………6分则14\n所以 ………7分设平面的法向量为，则，即，令，则. …………………8分因为平面，所以为平面的法向量，，所以. …………………9分所以二面角的正弦值为.………………10分(3)解：点是线段上一个动点，设.则，，因为，所以， ………………12分即，解得. …………………14分此时，点坐标为，，符合题意.…………………16分19.解：(1)因为抛物线的焦点为,又椭圆以抛物线焦点为顶点,所以∴椭圆E的方程为．……………4分(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)．设，则，.AF与BN的方程分别为：设，则有由上得，…6分由于，14\n所以点M恒在椭圆C上…………10分所以,F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞).……………4分（2）由得恒成立,即恒成立………………………6分因为当时，取得最大值0，所以，，所以，的最小值为0.……9分（3）若的图象与函数的图象在恰有两个不同交点，即在有两个不同的根，亦即两个不同的根.………………………11分14\n令，，则，.………………………13分当x变化时G/(x)、G（x）的变化情况如下表：x1（1,2）2（2,e）eG/(x)的符号+0-G（x）↗↘由上表知：,又，所以，当时，，所以，当时，的图象与函数的图象在恰有两个不同交点．………………………16分14
