2022～2022学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟满分：160分）一填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）．1、命题“”的否定是．2、不等式的解集为．3、不等式的解集是或，则．4、设变量满足约束条件，则的最小值是．5、右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米；6、与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为_______．7、若正数满足，则的最小值为_______．8、若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则的值为．9、已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则a的范围是_____．10、不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是．11、若双曲线的焦点是过的直线交左支于A、B，若|AB|=5，则△AF2B的周长是．13\n12、已知椭圆+=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为 .13、已知椭圆，是椭圆的左右焦点，是右准线，若椭圆上存在点，使是到直线的距离的倍，则该椭圆离心率的取值范围是14、已知任意实数，不等式恒成立，则最大值为_________．二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15、（本题满分14分）已知命题P：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：关于实数t的不等式（1）若命题P为真，求实数t的取值范围；（2）若命题P是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。16．（本题满分14分）（1）设全集，集合，集合.求;（2）设，求的最大值.13\n17．（本题满分14分）xyOPAF如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，右焦点为.为椭圆上一点，且.（1）若，，求的值；（2）若，求椭圆的离心率；18．（本小题满分16分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）19．（本小题满分16分）已知函数（1）当时，写出函数的单调增区间；（2）当时，求函数在区间上的最小值；（3）设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示）.13\n20.（本小题满分16分）已知分别是椭圆的左，右顶点，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（II）点为椭圆上除长轴端点外的任一点，直线，与椭圆的右准线分别交于点，．①在轴上是否存在一个定点,使得?若存在，求点的坐标；若不存在,说明理由；②已知常数，求的取值范围.（第20题）13\n2022～2022学年度第一学期期中考试数学试卷一填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）．1．命题“”的否定是．2．不等式的解集为．3．不等式的解集是或，则．4．设变量满足约束条件，则的最小值是．5、右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽▲米；6、与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为_______．7、若正数满足，则的最小值为_______．8.若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则的值为．59.已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则a的范围是_____．10．不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是▲．11．若双曲线的焦点是过的直线交左支于A、B，若|AB|=5，则△AF213\nB的周长是．1812.已知椭圆+=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为 .(变式1)【答案】【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M.由=kAM，得=，所以yM=b.由=kFM，得=，所以yM=.从而b=，整理得2e2+e-1=0，解得e=.13\n13、已知椭圆，是椭圆的左右焦点，是右准线，若椭圆上存在点，使是到直线的距离的倍，则该椭圆离心率的取值范围是14．已知任意实数，不等式恒成立，则最大值为_________．4二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15、（14分）已知命题P：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：关于实数t的不等式（1）若命题P为真，求实数t的取值范围；（2）若命题P是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。解．（1）方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆------------4分解得：------------7分（2）命题P是命题q的充分不必要条件是不等式解集的真子集-------10分因方程两根为故只需-----12分解得：----------14分16．（本题满分14分）（1）设全集，集合，集合.求;13\n（2）设，求的最大值.解：①∵，∴，不等式的解为，∴-------2分由解得或.-------4分∴-------7分②，，设，则，于是有-------12分当且仅当，即时取等号，此时．∴当时，函数取得最大值．-------14分17．（本题满分14分）xyOPAF如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，右焦点为.为椭圆上一点，且.（1）若，，求的值；（2）若，求椭圆的离心率；解:(1)因为，，所以，即，由得，，即,又，∴.解得或(舍).-------7分(2)当时,，由得，，即，故，所以，解得（负值已舍）．-------14分18．（本小题满分16分）13\n经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）【解析】（Ⅰ）由题意得，（Ⅱ）因为-------6分①当时，当且仅当，即时等号-------10分②当时，，可证在上单调递减，所以当时，取最小值为-------16分19．已知函数（1）当时，写出函数的单调增区间；（2）当时，求函数在区间上的最小值；（3）设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示）.解：（1）当时，13\n单调增区间和-------4分（2）-------10分（3）①当时，，-------13分②当时，.-------16分20.已知分别是椭圆的左，右顶点，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（II）点为椭圆上除长轴端点外的任一点，直线，与椭圆的右准线分别交于点，．①在轴上是否存在一个定点,使得?若存在，求点的坐标；若不存在,说明理由；②已知常数，求的取值范围.13\n（第20题）试题解析：（Ⅰ）由题意得，，，∴，由点在椭圆C上，则有：，……………………2分由以上两式可解得．∴椭圆方程为．………4分13\n②∵，，∴．∵，，∴．∴．…………………13分设函数，定义域为，当时，即时，在上单调递减，的取值范围为，当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，的取值范围为．综上，当时，的取值范围为，13\n当时，的取值范围为．………………16分13
