苏州市2022届高三调研考试数学试题一、填空题1.已知集合，则.2.已知为虚数单位，则.3.已知函数的最小正周期是，则正数的值为.4.某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为.5.已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为.开始输入a,ba>8aa+b输出a结束YN6.运行如图所示的流程图，如果输入，则输出的的值为.7.以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为.8.设，则以为坐标的点落在不等式所表示的平面区域内的概率为.9.已知函数的定义域是，则实数的值为.10.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为.ADFEBC11.如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为.12.已知函数若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是.13.已知圆，直线为直线上一点，若圆-13-上存在两点，使得，则点A的横坐标的取值范围是.14.已知为正实数，且，则的最小值为.二、解答题15.已知向量，且共线，其中.（1）求的值；（2）若，求的值.16.如图，在正方体中，分别是中点.ABCDA1B1C1D1求证：（1）∥平面；（2）平面.-13-17.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？APQBC（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？18.如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上.（1）求直线AB的方程；PNMBOAxyE（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：OMON为定值.19.已知函数，其中为自然对数底数.-13-（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.20.已知数列中.（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.数学数学Ⅱ附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答-13-题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-１：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，过圆O外一点P作圆O的切线PA，切点为A，连结OP与圆O交于点C，过C作AP的算线，垂足为D，若PA＝12cm，PC＝6cm，求CD的长。B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，A=，向量，求向量，使得.C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数a的值.D．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数x，y，z满足，的最小值，并求此时x，y，z的值。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，.（1）求二面角A-DF-B的大小；（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为.-13-23、（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不陪不赚，这三种情况发生的概率分别为；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）.（1）如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求X的概率分布列及数学期望E（X）.（2）若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.-13-苏州市2022届高三调研测试数学Ⅰ试题2022．1参考答案与评分标准1．(－2，1]2．13．64．35．26．97．8．9．10．π11．412．13．14．15．解（1）∵a∥b，∴，即．………………………………4分∴．………………………………………………7分（2）由（1）知，又，∴，…………9分∴，∴，即，∴，即，………………………………………………………12分又，∴．……………………………………………………………14分16．证明：（1）连结A1D，∵E，F分别是AD和DD1的中点，∴EF∥AD1．…………………………………2分∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴AB∥D1C1，AB=D1C1．∴四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1………………………………………4分∴EF∥BC1．又EF平面C1BD，BC1平面C1BD，∴EF∥平面AB1D1．……………………………………7分（2）连结AC，则AC⊥BD．∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD．又，∴BD⊥平面AA1C，∴A1C⊥BD．……………………………………………11分同理可证A1C⊥BC1．-13-又，∴A1C⊥平面C1BD．………………………………………………14分17．解设米，米．（1）则，的面积．…………………………………………………………3分∴S．当且仅当时取“=”．…………………………………………………………6分（注：不写“＝”成立条件扣1分）（2）由题意得，即．…………………8分要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以（）………………………………………11分当时，有最小值，此时．…………………………13分答：（1）当米时，三角形地块APQ的面积最大为平方米；（2）当米米时，可使竹篱笆用料最省．………………………14分18．解：（1）设点E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．代入椭圆方程得，即，解得或（舍）．………………………………………………3分所以A（，），-13-故直线AB的方程为．…………………………………………………6分（2）设，则，即．设,由A，P，M三点共线，即，∴，又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标，……………………………9分设，由B，P，N三点共线，即，∴，点N在直线y=x上，，解得N点的横坐标．…………………………12分所以OM·ON==＝2====．……………………16分19．解：（1）当时，，，，………………2分∴函数在点处的切线方程为，即．……………………………………………………………………4分（2）∵，①当时，，函数在上单调递增；………………………………6分②当时，由得，∴时，，单调递减；时，，单调递增．综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数-13-的单调递增区间为，单调递减区间为．……………………………………9分（3）由（2）知，当时，函数在上单调递增，∴不可能恒成立；………………………………………………………………10分当时，，此时；………………………………………………………11分当时，由函数对任意都成立，得，∵，∴………………………………13分∴，设，∴，由于，令，得，，当时，，单调递增；时，，单调递减．∴，即的最大值为，此时．…………………………………………………………………16分20．解：（1）设，因为．…………………………………2分若数列是等比数列，则必须有（常数），-13-即，即，…………………5分此时，所以存在实数，使数列是等比数列………………………………………6分（注：利用前几项，求出的值，并证明不扣分）（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，故，即，…………………8分由，得，……10分所以，，………………………………………………………………12分显然当时，单调递减，又当时，，当时，，所以当时，；-13-，同理，当且仅当时，．综上，满足的所有正整数为1和2．……………………………………………16分-13--13-
