江西省西路片七校2022届高三第一次联考数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集，集合，集合，那么（）A.B.C.D．2．若复数，其中为虚数单位，则复数的虚部是（）A.B.C.D.3．若等差数列的公差为，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值等于（）A．7B．6C．5D．44.已知上的奇函数满足：当时，，则（）A.B．C.D.5.下列命题正确的个数为（）①“都有”的否定是“使得”；②“”是“”成立的充分条件；③命题“若，则方程有实数根”的否命题为真命题A.B.C.D.6.函数的图象大致是（）-13-\n7．某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D．8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（）-13-\nA．B．C．D．9.对锐角α若，则()A.B.C.D.10．如图所示，在梯形ABCD中，∠B＝，，BC＝2，点E为AB的中点，若向量在向量上的投影为，则（）A．B．－2C．0D．11.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为2，的面积为，则（）A.2B．1C．D．312.已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13．若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是_____________.(结果用最简分数表示).-13-\n14．，则展开式中，项的系数为.15.已知满足的最大值为，若正数满足，则的最小值为.16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）令,设数列的前项和为,求.18.（本小题满分分）已知向量，，设函数，若函数的图象关于直线对称且．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，求的最大值．19．（本小题满分12分）高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，“将A市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B，从学生群体B中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计表如下：-13-\n选考物理、化学、生物的科目数123人数52520（Ⅰ）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；（Ⅱ）从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）将频率视为概率，现从学生群体B中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“”的概率．20．(本小题满分12分)如图，四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，，，，为正三角形.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设的中点为，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值．21．(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且的周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于、两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程．22.（本小题满分12分）已知函数．-13-\n（Ⅰ）当a＞0时，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）当a＜0时，求函数在上的最小值；（Ⅲ）记函数的图象为曲线C，设点A（，），B（，）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．-13-\n西路片七校联考测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案BABBBDCDCBAB二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13．;14.;15.;16.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17.解析：(1)设数列的公差为,数列的公比为,则由得解得所以，．…………………5分(2)由(1)可知………………①………………②①-②得:…………………10分18．解：（1） …………………2分函数的图象关于直线对称，则-13-\n则，且，则…………………4分∴，令，解得∴函数的单调递减区间为 …………………6分（2），且A是△ABC内角，∴，则，所以，则， ∵，由余弦定理 则，而，所以，当且仅当时，所以的最大值为．…………………12分19.解：（1）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A则 所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为 ……………3分（2）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2 ， …………………6分 从而X的分布列为X012-13-\nP …………………8分（3）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名 相应的概率为，所以~ …………………10分 所以事件“”的概率为 …………12分20.解：（1）在等腰梯形中，过点作于点，如图所示：有∴在中，有，即又因为平面平面且交线为，∴平面.---5分（2）由平面平面，且为正三角形,为的中点，∴，得平面．如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于所在直线为轴，建立空间直角坐标系.由条件，则，，．-13-\n则，，，．-------6分在等腰梯形中，过点作的平行线交延长线于点如图所示：则在中，有，，∴．-------7分（另解:可不做辅助线，利用求点坐标）∴，，设平面的法向量则，取，则，，∴面的法向量．-------9分同理有，，设平面的法向量则，取，则，，∴面的法向量．--10分设平面与平面所成二面角的平面角为，∴．即平面与平面所成二面角的余弦值为．-------12分（2）∵，∴四边形为平行四边形，显然直线的斜率存在，设的方程为，-13-\n把代入得，由得，∴，，∵………………………7分∴=，令，∴，∴…………………10分当且仅当，即时取等号，∴，此时的方程为。12分22.解：（1）∵f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx，∴f′（x）=2ax+（1﹣2a）﹣=，∵a＞0，x＞0，∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）；…………………3分（2）当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=﹣，x2=1，①当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，∴f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1﹣a．②当≤﹣≤1，即﹣1≤a≤﹣时，f（x）在[，﹣]上是减函数，在[﹣，1]上是增函数，-13-\n∴f（x）的最小值为f（﹣）=1﹣+ln（﹣2a）．③当﹣＜，即a＜﹣1时，f（x）在[，1]上是增函数，∴f（x）的最小值为f（）=﹣a+ln2．综上，函数f（x）在区间[，1]上的最小值为：f（x）min=；…………………8分（3）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=，直线AB的斜率k1==[a（x12﹣x22）+（1﹣2a）（x1﹣x2）+lnx2﹣lnx1]=a（x1+x2）+（1﹣2a）+，曲线C在点N处的切线斜率k2=f′（x0）=2ax0+（1﹣2a）﹣=a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣，假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，即=﹣，∴ln==，不妨设x1＜x2，=t＞1，则lnt=，令g（t）=lnt﹣（t＞1），则g′（t）=﹣=＞0，∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，-13-\n∴g（t）＞0，即lnt=不成立，∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．…………………12分-13-
