信丰中学2022—2022年度第一学期高三年级第三次月考数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．集合，则实数a的取值可以是（）A． B．C．D.2．在中，“”是“”的（ ）A.充要条件B.必要不充分条件 C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3．若600°角的终边上有一点P(－4，a)，则a的值为( )A．4 B．－4C．±4D.4．函数的图像经过怎样的平移变换得到函数的图像（）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度5．函数的反函数=（）A.B. C.D.6．若则（）A．2 B．－2C．D.7．设且满足，对任意正数，不等式恒成立的是（）A．B．C．D．8．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=( )A、5B、6C、7D、89．下列3个命题：①已知随机变量服从正态分布,,则;②函数的所有零点存在区间是.8\n③已知函数的图像关于中心对称.其中是真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．310．函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )A．是偶函数B．是奇函数C．D．是奇函数11．在ABC中，为的对边，且，则（）A．成等差数列B.成等差数列C.成等比数列D.成等比数列1２．设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（）A．且B.且C.且D.且二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．1３．设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则14．已知在上是的减函数，则实数取值范围为15．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为 ．16．设命题P：关于x的不等式>1(a>0且a≠1)的解集为{x|-a<x<2a}；命题Q：=lg(ax2-x+a)的值域为R.如果P且Q为真，则实数a的取值范围是三、解答题：（本大题6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)＜0}．(1)若，求a的取值范围；(2)若，求a的取值范围.8\n18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<)的部分图像如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x－)－f(x＋)的单调递增区间．19．（本小题满分12分）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻x（时）的关系为，其中a是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作．（1）令，，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，讨论目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？20.（本小题满分12分）某城市随机监测一年内100天的空气质量PM2.5的数据API，结果统计如下：API[0,50]（50,100]（100,150]（150,200]（200，250]（250，+∞）天数61222301416（1）若将API值不超过150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年2022届高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率；（2）API值对部分生产企业有着重大的影响，假设某企业的日利润f（x）与API值x的函数关系为：f（x）=（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天中选出10天，再从这10天中任取3天计算企业利润之和X，求离散型随机变量X的分布列以及数学期望．8\n21.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．(1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长；(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．22.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论函数在区间上的单调性；（Ⅲ）证明不等式对任意成立．8\n第三次月考理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）C A B B A；A C Ｂ Ｄ Ｄ； D Ｃ二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.14.15.3616.三、解答题：（本大题6小题，共70分。）17.解: ∵A＝{x|x2－6x＋8＜0}，∴A＝{x|2＜x＜4}．(1)当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，应满足⇒≤a≤2，当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，应满足⇒a∈∅∴≤a≤2时，(5分)(2)要满足A∩B＝∅，当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，a≥4或3a≤2，∴0＜a≤或a≥4当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，a≤2或a≥.∴a＜0时成立．验证知当a＝0时也成立．综上所述，a≤或a≥4时，A∩B＝∅.(10分)18.解:(1)由题设图像知，最小正周期T＝2×(－)＝π，所以ω＝＝2.因为点(，0)在函数图像上，所以Asin(2×＋φ)＝0.即sin(＋φ)＝0.又因为0<φ<，所以<＋φ<.从而＋φ＝π，即φ＝.又点(0,1)在函数图像上，所以Asin＝1，得A＝2.故f(x)＝2sin(2x＋)．(6分)(2)g(x)＝2sin[2(x－)＋]－2sin[2(x＋)＋]＝2sin2x－2sin(2x＋)＝2sin2x－2(sin2x＋cos2x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(12分)19.解：解:（1）当时，t＝0；当时，（当时取等号），8\n∴，即t的取值范围是．(5分)（2）当时，记则 (7分)∵在上单调递减，在上单调递增，且．故.(10分)∴当且仅当时，.故当时不超标，当时超标．(12分)20．解：（1）根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为0.4×0.4=0.16．(4分)（2）X的所有可能取值为45，70，95，120，，X的分布列为(10分)X457095120P(12分)8\n21.解：(1)∵S△DAC＝2，∴·AD·AC·sin∠DAC＝2，∴sin∠DAC＝.∵∠DAC＜∠BAC＜π－＝，∴∠DAC＝.在△ADC中，由余弦定理，得DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos，∴DC2＝4＋48－2×2×4×＝28，∴DC＝2.(6分)(2)∵AB＝AD，B＝，∴△ABD为正三角形，在△ADC中，根据正弦定理，可得＝＝，∴AD＝8sinC，DC＝8sin(－C)，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sin(－C)＋4＝8(sinC＋cosC－sinC)＋4＝8(sinC＋cosC)＋4＝8sin(C＋)＋4，(10分)∵∠ADC＝，∴0＜C＜，∴＜C＋＜，∴当C＋＝，即C＝时，△ADC的周长的最大值为8＋4.(12分)22.解：（1）（3分）（2）(4分)当时，在上恒成立，在上单调递增；（5分）当时，，8\n增；（7分）(12分)8
