河北辛集中学2022-2022学年度第一学期第一次阶段考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题共80分）一．选择题（每小题5分，共80分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.命题“”的否定是（）A.B.C.D.2.分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为（）A．B．C．D．3．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则( )A．A＞B，sA＞sBB．A＜B，sA＞sBC．A＞B，sA＜sBD．A＜B，sA＜sB4．由辗转相除法可以得到390，455，546三个数的最大公约数是( )A．65B．91C．26D．135．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( )A．280B．320C．400D．10006.设，则“，且”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数，”A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8\n8.下列命题中，不是真命题的是（）A.命题“若，则”的逆命题.B.“”是“且”的必要条件.C.命题“若，则”的否命题.D.“”是“”的充分不必要条件.9．某品牌产品在男士中有10%的人使用过，在女士中有40%的人使用过，若从男女人数相等的人群中任取一人，此人恰好使用过该产品，则此人是位女士的概率是( )A.B.C.D.10.经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则等于 A.B.C.D.11.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（）A.9B.10C.11D.1312．过圆x2＋y2－4x＝0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m、n满足的关系式是（）A．(m－2)2＋n2＝4B．(m＋2)2＋n2＝4C．(m－2)2＋n2＝8D．(m＋2)2＋n2＝813.已知直线经过椭圆的左焦点F1,且与椭圆在第二象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为( )A.B.C.D.14．从1，2，…，10这十个数中任意取出两个，假设两个数的和是偶数的概率为p，两个数的积是偶数的概率为q.给出下列说法：①p＋q＝1；②p＝q；③|p－q|≤；④p≤.其中说法正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8\n15.利用秦九韶算法求当时的值为A.121B.321C.283D.23916.设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若△ABF2的内切圆的面积为π,则|y1-y2|=（） A.3B.6C.9D.12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上17．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在内的概率为，那么重量超过300克的概率为________．18.命题“”是假命题，则m的取值范围为。19.若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则(O为坐标原点)的最小值为______．20．下列关于概率和统计的几种说法：①10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为c＞a＞b；②样本4，2，1，0，－2的标准差是2；③在面积为S的△ABC内任选一点P，则随机事件“△PBC的面积小于”的概率为；④从写有0，1，2，…，9的十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的数字各不相同的概率是.其中正确说法的序号有________．三、解答题(本大题共4小题,共计50分)21．(12分)已知，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．22．(12分)某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2022级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各108\n名，测量他们的身高，量出的身高如下(单位：cm)：南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163.北方：183，173，169，163，179，171，157，175，184，166.(1)根据抽测结果，画出茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出统计结论．(2)设抽测的10名南方大学生的平均身高为cm，将10名南方大学生的身高依次输入如图所示的程序框图进行运算，问输出的s大小为多少？并说明s的统计学意义．23．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．24．(14分)2022年1月，北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月．据气象局统计，北京市2022年1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气，《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》如表1：表1 空气质量指数AQI分组表AQI指数M0～5051～100101～150151～200201～300>300级别ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ状况优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是某气象观测点记录的连续4天里AQI指数M与当天的空气水平可见度y(km)的情况，表3是某气象观测点记录的北京市2022年1月1日至1月30日的AQI指数频数分布表．表2 AQI指数M与当天的空气水平可见度y(km)的情况AQI指数M900700300100空气水平可见度y(km)0.53.56.59.5表3 北京市2022年1月1日至1月30日AQI指数频数分布表AQI指数M[0，200)[200，400)[400，600)[600，800)[800，1000]8\n频数361263(1)设x＝，根据表2的数据，求出y关于x的线性回归方程．(参考公式：，．)(2)小王在北京开了一家洗车店，经小王统计：当AQI指数低于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当AQI指数不低于400时，洗车店平均每天收入约7000元．①估计小王的洗车店在2022年1月份平均每天的收入；②从AQI指数在[0，200)和[800，1000]内的这6天中抽取2天，求这2天的收入之和不低于5000元的概率．附加题(10分)已知椭圆经过点，且两个焦点的坐标依次为和.（1）求椭圆的标准方程；（2）设E，F是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，直线OE的斜率为，直线OF的斜率为，若，证明：直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程.8\n高二数学第一次月考试题答案1-5BABDC6-10ABADC11-16DCDACA17．18.19.20．②④ 21．已知，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．22解：(1)茎叶图如图所示．统计结论(给出下述四个结论供参考)：①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；②南方大学生的身高比北方大学生的身高更整齐；③南方大学生的身高的中位数为169.5cm，北方大学生的身高的中位数是172cm；④南方大学生的身高基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的身高分布较为分散．(2)s＝42.6，s表示10位南方大学生身高的方差，是描述身高的离散程度的量．s值越小，表示身高越整齐，s值越大，表示身高越参差不齐．23．（1）由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0．（2）因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1．设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，8\n化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3．由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤，所以点C的横坐标a的取值范围为[0，]．24．解：(1)因为＝＝5，＝＝5,＝92＋72＋32＋12＝140，所以＝＝－，＝5－×5＝，所以，y关于x的线性回归方程是＝－x＋.(2)①根据表3可知，在1月份30天中有3天洗车店每天亏损约2000元，有6天每天收入约4000元，有21天每天收入约7000元，故1月份平均每天的收入约为×(－2000×3＋4000×6＋7000×21)＝5500(元).②记AQI指数在[0，200)内的3天为A1，A2，A3，AQI指数在[800，1000]内的3天为B1，B2，B3，则从[0，200)和[800，1000]内的这6天中抽取2天的所有情况有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15种，其中满足这2天的收入之和低于5000元的情况有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，故由古典概型的概率计算公式可得，这2天的收入之和低于5000元的概率为＝.由对立事件的概率计算公式得，这2天的收入之和不低于5000元的概率为1－＝.选做（1）由椭圆定义得，即，又，所以，8\n所以椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为，，，直线的方程与椭圆方程联立，消去得，当时，得，，由已知，即，因为点，在直线上，所以，整理得，即，化简得，原点到直线的距离，，所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为.8
