2022-2022学年河南省信阳市息县一中高二（下）第三次段考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={1，2，3，4}，B={n|n=log2（3k﹣1），k∈A}，则A∩B=（ ）A．{3}B．{1}C．{1，3}D．{1，2，3}2．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．以（a，1）为圆心，且与两条直线2x﹣y+4=0与2x﹣y﹣6=0同时相切的圆的标准方程为（ ）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5B．（x+1）2+（y+1）2=5C．（x﹣1）2+y2=5D．x2+（y﹣1）2=54．已知||=，•=﹣，且（﹣）•（+）=﹣15，则向量与的夹角为（ ）A．B．C．D．5．如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．6+B．8+C．4+D．4+6．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）的对应表：x123456f（x）136.1315.552﹣3.9210.88﹣52.488﹣232.064则函数f（x）存在零点的区间有（ ）A．区间[1，2]和[2，3]B．区间[2，3]和[3，4]C．区间[3，4]、[4，5]和[5，6]D．区间[2，3]、[3，4]和[4，5]7．执行如图所示的程序框图，如果输入的P=2，Q=1，则输出的M等于（ ）21/21A．37B．30C．24D．198．已知α为锐角，若sin2α+cos2α=﹣，则tanα=（ ）A．3B．2C．D．9．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，x∈[0，2）时，f（x）=3x﹣1，则f（2022）的值为（ ）A．8B．0C．2D．﹣210．把函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度，所得的曲线的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是（ ）A．1，B．1，﹣C．2，D．2，﹣11．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）A．f（x）=﹣x3B．f（x）=+x3C．f（x）=﹣x3D．f（x）=+x312．对函数f（x），在使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f（x）的下确界．现已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2，则f（x）的下确界为（ ）A．2B．1C．0D．﹣1 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）21/2113．半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为 ．14．在△ABC中，边AB的垂直平分线交边AC于D，若C=，BC=8，BD=7，则△ABC的面积为 ．15．6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级．灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A，B，C，D四个不同的方向前往灾区．已知下面四种说法都是正确的．（1）甲轻型救援队所在方向不是C方向，也不是D方向；（2）乙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；（3）丙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；（4）丁轻型救援队所在方向不是A方向，也不是D方向．此外还可确定：如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向．有下列判断：①甲所在方向是B方向；②乙所在方向是D方向；③丙所在方向是D方向；④丁所在方向是C方向．其中判断正确的序号是 ．16．函数f（x）=lnx在点P（x0，f（x0））处的切线l与函数g（x）=ex的图象也相切，则满足条件的切点P的个数有 个． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知各项都为正数的等比数列{an}满足a3是3a1与2a2的等差中项，且a1a2=a3．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn=log3an，且Sn为数列{bn}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn．18．（12分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图：（I）写出a的值；21/21（II）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人，并用X表示其中男生的人数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，N为BC边上一点，且CN=BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EF﹣CB，M为EF中点．（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．20．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＞0．（1）证明：f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（2）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0．21．（12分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，（1）当x∈[1，2]时，求f（x）的解析式；（2）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2022）的值． [选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，PQ为⊙O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QM=QN．（Ⅰ）求证：PF•QN=PQ•NF；（Ⅱ）若QP=QF=，求PF的长． [选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆C在极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（Ⅱ）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率．21/21 [选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x|+|x+10|．（Ⅰ）求f（x）≤x+15的解集M；（Ⅱ）当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25| 21/21数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022秋•邯郸月考）已知集合A={1，2，3，4}，B={n|n=log2（3k﹣1），k∈A}，则A∩B=（ ）A．{3}B．{1}C．{1，3}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】分别求出满足条件的集合B中的部分元素，求出A∩B即可．【解答】解：k=1时，n=1，k=3时，n=3，∴B={1，3，…}，而A={1，2，3，4}，故A∩B={1，3}，故选：C．【点评】本题考查了集合的运算，考查对数的运算，是一道基础题． 2．（2022秋•秀屿区校级期中）已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．（2022秋•河南月考）以（a，1）为圆心，且与两条直线2x﹣y+4=0与2x﹣y﹣6=0同时相切的圆的标准方程为（ ）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5B．（x+1）2+（y+1）2=5C．（x﹣1）2+y2=5D．x2+（y﹣1）2=5【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意，圆心在直线2x﹣y﹣1=0上，求出圆心与半径，即可得出结论．【解答】解：由题意，圆心在直线2x﹣y﹣1=0上，（a，1）代入可得a=1，即圆心为（1，1），半径为r==，21/21∴圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=5，故选：A．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础． 4．（2022秋•邯郸月考）已知||=，•=﹣，且（﹣）•（+）=﹣15，则向量与的夹角为（ ）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得向量与的夹角的余弦值，可得向量与的夹角．【解答】解：设向量与的夹角为θ，∵||=，•=•||•cosθ=﹣①，∵（﹣）•（+）=﹣=10﹣=﹣15，∴||=5．再把||=5代入①求得cosθ=﹣，∴θ=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 5．（2022秋•河南月考）如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．6+B．8+C．4+D．4+【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】几何体为两个半圆锥与一个四棱柱的组合体，求出各部分的体积再相加即可．【解答】解：由三视图可知几何体为两个半圆锥与一个长方体的组合体．半圆锥的底面半径r=1，高为2，长方体的棱长为1，2，2，21/21∴几何体的体积V=×2+1×2×2=+4．故选C．【点评】本题考查了常见几何体的三视图及体积计算，属于中档题． 6．（2022春•潍坊期末）已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）的对应表：x123456f（x）136.1315.552﹣3.9210.88﹣52.488﹣232.064则函数f（x）存在零点的区间有（ ）A．区间[1，2]和[2，3]B．区间[2，3]和[3，4]C．区间[3，4]、[4，5]和[5，6]D．区间[2，3]、[3，4]和[4，5]【考点】二分法的定义．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用根的存在性定理：f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有根．结合题中的表求出函数f（x）存在零点的区间．【解答】解：据根的存在性定理知：f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有根．∵f（x）的图象是连续不断的，∴由表知，f（2）•f（3）＜0，f（4）•f（3）＜0，f（4）•f（5）＜0，∴函数f（x）存在零点的区间为[2，3]、[3，4]和[4，5]，故选：D．【点评】本题考查利用根的存在性定理判断函数的零点所在的区间，考查学生运用二分法的定义解题的能力，属于基础题． 7．（2022秋•河南月考）执行如图所示的程序框图，如果输入的P=2，Q=1，则输出的M等于（ ）A．37B．30C．24D．19【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量M的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得：P=2，Q=1M=10，N=1M=12，N=1不满足条件M≤N，执行循环体，P=3，Q=2，M=15，N=2不满足条件M≤N，执行循环体，P=4，Q=3，M=19，N=6不满足条件M≤N，执行循环体，P=5，Q=4，M=24，N=2421/21满足条件M≤N，推出循环，输出M的值为24．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图的应用，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力，属于基础题． 8．（2022秋•邯郸月考）已知α为锐角，若sin2α+cos2α=﹣，则tanα=（ ）A．3B．2C．D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知条件为正切函数的形式，然后求解即可．【解答】解：α为锐角，tanα＞0，若sin2α+cos2α=﹣，可得，即：=，可得2tan2α﹣5tanα﹣3=0，解得tanα=3，tan（舍去）．故选：A．【点评】本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力． 9．（2022秋•周口月考）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，x∈[0，2）时，f（x）=3x﹣1，则f（2022）的值为（ ）A．8B．0C．2D．﹣2【考点】函数的周期性．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，可得：f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（2022）=f（3）=﹣f（1），即可得出．【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（2022）=f（503×4+3）=f（3）=﹣f（1），∵x∈[0，2）时，f（x）=3x﹣1，∴f（1）=3﹣1=2．则f（2022）=﹣2．故选：D．【点评】本题考查了函数的周期性、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21/2110．（2022•弋江区校级一模）把函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度，所得的曲线的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是（ ）A．1，B．1，﹣C．2，D．2，﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】先把函数的图象依题意向左平移，获得新的函数的解析式，然后利用图象可知函数的周期，进而利用周期公式求得ω；把x=π代入函数解析式，化简整理求得φ的值．【解答】解：y=sin（ωx+φ），y1=sin[ω（x+）+φ]，∴T==×4，ω=2，当x=π时，2（π+）+φ=2kπ+π，k∈Z，φ=2kπ﹣，k∈Z，|φ|＜，∴φ=﹣．故选D【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．考查了学生数形结合思想的运用和对三角函数解析式的理解． 11．（2022•厦门模拟）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）A．f（x）=﹣x3B．f（x）=+x3C．f（x）=﹣x3D．f（x）=+x3【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．21/21【分析】本题是选择题，可采用排除法，根据函数的定义域可排除选项C再根据特殊值排除B，D，即可得到所求【解答】解：由图象可知，函数的定义域为x≠a，a＞0，故排除C，当x→+∞时，y→0，故排除B，当x→﹣∞时，y→+∞，故排除B，当x=1时，对于选项A．f（1）=0，对于选项D，f（1）=﹣2，故排除D．故选：A．【点评】本题主要考查了识图能力，数形结合的思想，属于基础题 12．（2022秋•息县校级月考）对函数f（x），在使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f（x）的下确界．现已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2，则f（x）的下确界为（ ）A．2B．1C．0D．﹣1【考点】抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义．【专题】数形结合；函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）关于x=0，x=1对称；从而作出函数f（x）的图象，从而由定义确定下确界即可．【解答】解：由题意知，f（x）关于x=0，x=1对称；故函数f（x）的周期为2，又∵当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2，∴当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣3x2+2；故作出函数f（x）在R上的部分图象如下，故易得下确界为f（1）=﹣1，故选D．【点评】本题考查了函数性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（2022秋•邯郸月考）半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为 88 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】由题意，长、宽分别为6、4的长方体的体积与球的体积相等，求出长方体的高，再求长方体的表面积．【解答】解：由题意，长、宽分别为6、4的长方体的体积与球的体积相等，球的半径为．21/21则有：⇔解得h=2长方体的表面积S=2×4×6+2×2×4+2×2×6=88故答案为88．【点评】本题考查了球的体积的计算和长方体的体积计算．属于基础题． 14．（2022秋•金安区校级月考）在△ABC中，边AB的垂直平分线交边AC于D，若C=，BC=8，BD=7，则△ABC的面积为 20，或24 ．【考点】三角形中的几何计算．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；解三角形．【分析】如图所示，△BCD中，设CD=x，由余弦定理可得：，解出x，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，△BCD中，设CD=x，由余弦定理可得：，化为：x2﹣8x+15=0，解得x=3，或5．∴AC=10，或12．∴S△ABC=sinC=20，或24．故答案为：20，或24．【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．（2022秋•河南月考）6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级．灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A，B，C，D四个不同的方向前往灾区．已知下面四种说法都是正确的．（1）甲轻型救援队所在方向不是C方向，也不是D方向；（2）乙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；（3）丙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；21/21（4）丁轻型救援队所在方向不是A方向，也不是D方向．此外还可确定：如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向．有下列判断：①甲所在方向是B方向；②乙所在方向是D方向；③丙所在方向是D方向；④丁所在方向是C方向．其中判断正确的序号是 ③ ．【考点】进行简单的合情推理．【专题】整体思想；综合法；推理和证明．【分析】由（1）可知，甲选A或B，由（2）可知，乙选C或D，由（3）可知：丙选C或D，由（4）可知，丁选C或B，由如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向可知丙所在的方向是D方向．【解答】解：由（1）可知，甲选A或B，由（2）可知，乙选C或D，由（3）可知：丙选C或D，由（4）可知，丁选C或B，由丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向，故丙所在的方向是D方向，故③正确，故答案为：③．【点评】本题考查简单的合情推理，考查逻辑推理应用，考查学生的逻辑思考能力，属于基础题． 16．（2022秋•邯郸月考）函数f（x）=lnx在点P（x0，f（x0））处的切线l与函数g（x）=ex的图象也相切，则满足条件的切点P的个数有 2 个．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；转化思想；演绎法；导数的综合应用．【分析】先求直线l为函数的图象上一点A（x0，f（x0））处的切线方程，再设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），进而可得lnx0=，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=lnx，∴f′（x）=，∴x=x0，f′（x0）=，∴切线l的方程为y﹣lnx0=（x﹣x0），即y=x+lnx0﹣1，①设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），∵g'（x）=ex，∴=，∴x1=﹣lnx0．∴直线l也为y﹣=（x+lnx0）21/21即y=x++，②由①②得lnx0=，如图所示，方程有两解，故答案为2．【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2022秋•邯郸月考）已知各项都为正数的等比数列{an}满足a3是3a1与2a2的等差中项，且a1a2=a3．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn=log3an，且Sn为数列{bn}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义和等差中项即可求出{an}的通项公式，（Ⅱ）根据对数的性质得到bn=log3an=n，再根据等差数列的前n项公式得到Sn，代入到，裂项求和即可．【解答】解：（I）设等比数列的公比为q，由题意知q＞0，且3a1+2a2=a3，a1a2=a3．21/21∴解得a1=q=3，故an=3n，（Ⅱ）bn=log3an=n，∴Sn=，∴=+2=2（﹣）+2，故数列{}的前n项和为Tn=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]+2n=2（1﹣）+2n=【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式和等比数列的通项公式和裂项求和，属于中档题． 18．（12分）（2022秋•息县校级月考）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图：（I）写出a的值；（II）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人，并用X表示其中男生的人数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（I）由频率分布的性质能求出a．（II）在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生人数为人，在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生人数为3人，从而得到X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（I）由频率分布的性质得：21/21a==0.05．…（3分）（II）在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.02×5=0.1，学生人数为0.1×20=2人，同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生人数为（0.03×5）×20=3人．故X的可能取值为1，2，3．…（6分）则P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，所以X的分布列为：X123P…（11分）所以E（X）=．…（12分）【点评】本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用． 19．（12分）（2022秋•思明区校级期中）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，N为BC边上一点，且CN=BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EF﹣CB，M为EF中点．（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；转化思想；空间角．【分析】（1）如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，利用面面与线面垂直的性质与判定定理可得：MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC=4．只要证明平面法向量的夹角为直角即可证明平面A′MN⊥平面A′BF．（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB=EF，21/21∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC=4．M（0，0，0），A′（0，0，），N（﹣1，，0），B（2，，0），F（﹣1，0，0）．=（0，0，），=（﹣1，，0），=（1，0，），=（3，，0）．设平面A′MN的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．同理可得平面A′BF的法向量=．∵=3﹣3+0=0，∴，∴平面A′MN⊥平面A′BF．（2）解：由（1）可得平面A′BF的法向量=．取平面EA′F的法向量=（0，1，0）．则cos===，由图可知：二面角E﹣A′F﹣B的平面角为锐角，∴二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值为．【点评】本题考查了利用平面法向量的夹角求出二面角的方法、向量夹角公式、数量积运算性质、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（12分）（2022秋•息县校级月考）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＞0．（1）证明：f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（2）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0．21/21【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）任取x1、x2两数使x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，进而根据函数为奇函数推知f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2），让f（x1）+f（﹣x2）除以x1﹣x2再乘以x1﹣x2配出的形式，进而判断出f（x1）﹣f（x2）与0的关系，进而证明出函数的单调性．（2）将不等式进行等价转化，利用函数的单调性进行求解．【解答】（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则﹣x2∈[﹣1，1]．又f（x）是奇函数，于是f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=•（x1﹣x2）．据已知＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．5分（2）解：∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），∴，解得x∈（1，]．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．解题时要注意把未知条件拼凑出已知条件的形式，达到解题的目的． 21．（12分）（2022秋•息县校级月考）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，（1）当x∈[1，2]时，求f（x）的解析式；（2）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2022）的值．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的对称性，即可求出当x∈[1，2]时的f（x）的解析式；（2）（根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到f（x）是周期函数，根据函数的周期性先计算f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，然后可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2022）的值．【解答】解：（1）∵f（x）的图象关于x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x），即f（x）=f（2﹣x）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1∴f（x）=f（2﹣x）=22﹣x﹣1，x∈[1，2]．（2）∵f（x）的图象关于x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x），21/21∵f（x）是R上的奇函数，∴f（1+x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），即f（2+x）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）是周期为4的周期函数；∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1∴f（0）=0，f（1）=2﹣1=1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，f（4）=f（0）=0，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，即f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2022）=504×0=0．【点评】本题考查的知识点是函数的值，奇函数，函数的周期性，其中根据已知条件求出函数是为4的周期函数，是解答本题的关键． [选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2022秋•河南月考）如图所示，PQ为⊙O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QM=QN．（Ⅰ）求证：PF•QN=PQ•NF；（Ⅱ）若QP=QF=，求PF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（I）已知条件PQ为圆O的切线，联系切线的性质、弦切角定理，利用三角形相似，可得结论；（II）求出∠PQF=120°，利用余弦定理求PF的长．【解答】（I）证明：因为PQ为圆O的切线，所以∠PFQ=∠PQE．…（1分）又因为QM=QN，所以∠QNM=∠QMN，…（2分）所以∠PNF=∠PMQ，…（3分）所以△PNF∽△PMQ，…（4分）所以，即PF•QN=PQ•NF；…（II）解：因为QP=QF=，所以∠PFQ=∠QPF．…（6分）又∠PFQ+∠QPF+∠PQE+∠EQF=180°，∠EQF=90°，…（7分）所以∠PFQ=∠QPF=30°，∠PQF=120°，…（8分）由余弦定理，得PF==3．…（10分）21/21【点评】本题考查圆周角定理、弦切角定理、余弦定理、圆的性质，以及考查逻辑四维能力、推理理论能力、转化能力、运算求解能力． [选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2022秋•河南月考）已知圆C在极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（Ⅱ）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率．【考点】参数方程化成普通方程；坐标系的作用．【专题】对应思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）根据ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，求出C的直角坐标方程，通过配方求出圆心和半径即可；（Ⅱ）求出直线过定点M（5，0），设出直线方程，根据|PQ|=4，求出直线方程即可．【解答】解：（I）由ρ=4cosθ﹣2sinθ，得ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ，将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入可得x2+y2﹣4x+2y=0，配方，得（x﹣2）2+（y+1）2=5，所以圆心为（2，﹣1），半径为．（II）由直线L的参数方程知直线过定点M（5，0），则由题意，知直线l的斜率一定存在，因此不妨设直线l的方程为l的方程为y=k（x﹣5），因为|PQ|=4，所以5﹣=4，解得k=0或k=．【点评】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查求直线方程问题，是一道中档题． [选修4-5：不等式选讲]24．（2022秋•正阳县校级月考）设f（x）=|x|+|x+10|．（Ⅰ）求f（x）≤x+15的解集M；（Ⅱ）当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25|【考点】绝对值不等式的解法．【专题】分类讨论；转化思想；分类法；不等式的解法及应用．【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a，b∈M时，等价转化不等式5|a+b|≤|ab+25|为（a2﹣25）•（25﹣b2）≤0，结合题意可得（a2﹣25）•（25﹣b2）≤0成立，从而得出结论．【解答】解：（I）由f（x）=|x|+|x+10|≤x+15得：①，或②，或③．21/21解①求得x∈∅，解②求得﹣5≤x≤0，解③求得5≥x＞0，故原不等式的解集为M={x|﹣5≤x≤5}．（II）当a，b∈M时，﹣5≤a≤5，﹣5≤b≤5，不等式5|a+b||≤|ab+25|，等价于25（a+b）2≤（ab+25）2，即25（a2+b2+2ab）≤a2•b2+50ab+625，即25a2+25b2﹣a2•b2﹣625≤0，等价于（a2﹣25）•（25﹣b2）≤0．而由﹣5≤a≤5，﹣5≤b≤5，可得a2≤25，b2≤25，∴a2﹣25≤0，25﹣b2≥0，∴（a2﹣25）•（25﹣b2）≤成立，故要证的不等式5|a+b|≤|ab+25|成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，属于中档题．21/21
