商丘市2022年高三第二次模拟考试数学（理科）本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。满分为150分，考试时间为120分钟。考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。考试结束只交答题卡。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合,，则（A）（B）（C）（D）（2）复数为纯虚数，若(为虚数单位)，则实数的值为（A）（B） （C） （D）（3）已知向量a=(,1)，b=(0,-1)，c=(k,)，若a-2b与c共线，则的值为（A）（B） （C） （D）（4）下列命题，真命题是（A）的充要条件是（B）R，（C）R，（D）若为假，则为假（5）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）（B）（C） （D）（6）在递增的等比数列中，已知，，且前项和为，则（A）（B）（C）（D）（7）执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（A）-12-（B）（C）（D）（8）已知直线与曲线相切，则的值为（A）（B）（C）（D）（9）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（A）（B）（C）（D）（10）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为的正方形，如图所示，则它的体积为俯视图正视图侧视图（A）（B）（C）（D）（11）已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦中点到准线的距离为（A）（B）（C）（D）（12）已知定义在R上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为（A）（B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）-12-本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分），（13）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为.（14）设，则展开式的常数项为.（15）已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，球心到平面的距离为，则球的表面积为.（16）的内角的对边分别为，已知，，则.三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12分）已知正项等差数列的前项和为，且满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，，求数列的前项和.（18）（本小题满分12分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物次，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是、.（Ⅰ）分别求出小球落入袋和袋中的概率；（Ⅱ）在容器的入口处依次放入个小球，记为落入袋中的小球个数，求的分布列和数学期望．（19）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，-12-.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（20）（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数(R)．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的切线交的延长线于，已知.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：-12-（Ⅰ）写出直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式，其解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.商丘市2022年 高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）DAACDDBBCDAB二、填空题（每小题5分，共20分）（13）；（14）；（15）；（16）.三、解答题（共70分）（17）解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列的首项为，公差为，，则………………………………………………………2分得………………………………………………………………………………4分.…………………………………………………………6分法二：是等差数列且，，又………………………………………………………………………2分，，…………………………………3分-12-,…………………………………………………………4分.…………………………………………………6分（Ⅱ），且，.当时，，…………………8分当时，满足上式，.……………………………9分.……………………………………………10分.………………………12分（18）解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为事件.…………………………………………………………1分而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故,…………………………………………3分从而.…………………………………………………4分（Ⅱ）显然，随机变量的所有可能取值为.……………………………………5分且.…………………………………………………………………………6分故，，-12-，，.则的分布列为0……………………………………………10分故的数学期望为.…………………………………………12分（19）解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接．∵，∴.………………………………………………………1分又四边形是菱形，且，∴是等边三角形，∴.…………………………………………2分又，∴，又，∴…………………………………………4分（Ⅱ）由，，易求得，，∴，.………………………………………………5分以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，则，，，，-12-∴，，.…………………………6分设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴.……………8分设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴.…………10分∴，∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.………12分（20）解：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，∴圆心到直线的距离（*）………………………………1分∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴,，代入（*）式得，∴，故所求椭圆方程为……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，将直线方程代入椭圆方程得：，∴，∴.设,，则，…………………6分由，-12-当,直线为轴，点在椭圆上适合题意；…………………………………7分当，得∴.………………………………………………8分将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知，，……………………………10分所以，……………………………………………………………11分综上可得.……………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）当时，，则，……………………………………1分令，得或；令，得，∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.………4分（Ⅱ）由题意，（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.……………6分（2）当时，令，有，，①当时，函数在上单调递增，显然符合题意.……………7分-12-②当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，要使对任意实数，当时，函数的最大值为，只需，解得，又，所以此时实数的取值范围是.……………………………9分③当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要存在实数，使得当时，函数的最大值为，需，代入化简得，①令，因为恒成立，故恒有，所以时，①式恒成立，综上，实数的取值范围是.…………………………………12分（22）解：（Ⅰ）∵与⊙相切于点，∴.…………………2分又，∴，∴.…………………………5分-12-（Ⅱ）∵四边形内接于⊙，∴，……………………………………………………………6分又，∴∽.……………………8分∴，即，∴.………………………10分（23）解：（Ⅰ），,………………………3分，即.…………………………………5分（Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为，所以，曲线上的点到直线的距离.……………10分解法二：曲线为以为圆心，为半径的圆.圆心到直线的距离为,所以，最大距离为.……………………………………………10分（24）解：（Ⅰ）不等式可化为，…………………………………1分∴，即,……………………………………2分∵其解集为，∴，.………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（方法一：利用基本不等式）∵，∴，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分-12-.（方法二：利用柯西不等式）∵，∴，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分（方法三：消元法求二次函数的最值）∵，∴，∴，∴当且仅当时，取最小值为.………………………………10分-12-
