平阳二中2022学年第一学期期末考试高二数学（理）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为( )A.－3B．－6C．－D．2.已知，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设为实数，命题：R，，则命题的否定是( )A.：R,B.：R,C.：R,D.：R,4.设、为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么()A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题5.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A.[－3，－1]B.[－1,3]C.[－3,1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（ ）A.15°B.30°C.45°D.60°7.已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.5B.10C.D.8.分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为V1、V2、V3，则（ ）A.V1＝V2+V3B.V12＝V22+V32C.D.9.直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )-7-\nA.B.C.D.10.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，设，，则函数的图象大致是（）ABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________12.如图所示，已知空间四边形OABC中，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为______________13.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是_____________14.命题方程表示圆，命题向量的模小于2,若为真命题，则实数的取值范围是________________15.设A、B是直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是__________________16.已知圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．17.在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=900，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成600角，则此时BD的长度是_____________三、解答题（共4小题，共52分）18.（本小题12分）-7-\n已知两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0（1）直线l经过l1与l2的交点且与l2垂直，求直线l的方程；（2）过点P(3,0)作一直线l＇，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线l＇的方程．19.（本小题12分）在三棱锥中，底面，当为的中点（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；（2）求与平面所成的角的正弦值；-7-\n20.（本小题14分）四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB为正三角形，AB=BC=AD=2，E为PD中点(1)求证：CE∥平面PAB；(2)求二面角E—AC—D的余弦值；(3)在线段BC上存在点Q使AQ⊥PD，求点Q到平面EAC的距离。21.（本小题14分）已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且|PQ|＝|PA|.(1)求a、b间关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．平阳二中2022学年第一学期期末考试高二数学（理）参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）BBADCBDCDB二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）,0，,,4x-3y-6=0，，三、解答题（共4小题，共52分）18.（本小题12分）解：（1）-7-\n（2） 设点A(x，y)在l1上，由题意知∴点B(6－x，－y)，解方程组得 ∴k＝＝8.(12分)∴所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.19.（本小题12分）(1)BC⊥平面PAC(2)取PC的中点E，20.（本小题14分）解法一：(Ⅰ)取AP中点P，连EF，BF∵E为PD中点，∴EF∥AD且EF=AD，又BC∥AD且BC=AD，∴EF∥BC且EF=BC，∴四边形EFBC为平行四边形，∴CE∥BF，∴CE∥平面PAB(Ⅱ)作PG⊥AB于G，EH⊥DG于H，则EH∥PG∵平面PAB⊥底面ABCD，∴PG⊥底面ABCD，又EH∥PG，∴EH⊥底面ABCD过H作HM⊥AC于M，连EM，则EM⊥AC，∠EMH为二面角E—AC—D的平面角，可求得EH=PG=，MH=CH·sin45°=·.∴tan∠EMH==，∴二面角E—AC—D的余弦值为(Ⅲ)∵PG⊥底面ABCD，要使AQ⊥PD，只需要AQ⊥DG即可。在直角梯形ABCD中，由△ABQ∽△DAG，可得BQ=，Q为BC的四等分点。-7-\n设Q到平面EAC的距离为h，可证BF⊥平面PAD，∵CE∥BF，∴△EAC为直角三形，S=，又S=由S=S得：h·S=，∴h=解法二：(向量法)如图建立这空间直角坐标系O—xyz，(Ⅰ)容易得A(-1，0,0)，C(1,2,0)，B(1，0,0)，P(0,，0，)D(-1，4,0)，E(-2，)∴AP中点M(-0，)，计算得，∴CE∥平面PAB(也可以证明平面PAB的法向量与垂直)(Ⅱ)设平面ACE的法向量解得：∴=(，-，1)设二面角E—AC—D的平面角为θ，则cosθ21.（本小题14分）解 (1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|PA|，-7-\n所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|PA|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，得|PQ|min＝.(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r＝－1＝－1，又l′：x－2y＝0，联立l：2x＋y－3＝0得P0(，)．所以所求圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝(－1)2.-7-
