浙江省诸暨市牌头中学全国高中数学联赛模拟试题（十）新人教A版一、选择题：（每小题6分，共36分）设集合M={-2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是（A）45（B）27（C）15（D）11已知sin2q=a，cos2q=b，0＜q＜，给出值的五个答案：①；②；③；④；⑤．其中正确的是：（A）①②⑤（B）②③④（C）①④⑤（D）③④⑤若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（A）64（B）66（C）68（D）70递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为（A）729（B）972（C）243（D）981（其中，表示不超过x的最大整数）的值为（A）（B）（C）（D）一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A）8568（B）2142（C）2139（D）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）过椭圆上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得HQ=lPH（l≥1）．当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是．已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角a（0＜a＜90°）的直线l，则这样的直线l的条数是f(a)=．不等式的解集为．设复数z满足条件|z-i|=1，且z≠0，z≠2i，又复数w使得为实数，则复数w-2的辐角主值的取值范围是．设a1,a2,…,a2022均为正实数，且，则a1a2…a2022的最小值是．在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n（n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为．三、（20分）已知数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，且前n项和为Sn．用Sn表示Sn+1；是否存在自然数c和k，使得＞2成立．四、（20分）设异面直线a、b成60°角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动．求线段AB中点P的轨迹方程．五、（20分）已知定义在R+上的函数f(x)满足（i）对于任意a、b∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)；（ii）当x＞1时，f(x)＜0；（iii）f(3)=-1．现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-2＞0，p、q∈R+}，集合B={(p,q)|f()+=0，p、q∈R+}．试问是否存在p、q，使，说明理由．第二试一、（50分）如图，AM、AN是⊙O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、N的点，过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P．若，求证：∠POQ=60°．MAPQNLO二、（50分）已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1-an（n≥1）．求所有的正整数n，使得1+5anan+1是完全平方数．三、（50分）设M为坐标平面上坐标为(p·2022,7p·2022)的点，其中p为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点；三角形的内心是坐标原点．参考答案第一试一、选择题：题号123456答案ACBDDB二、填空题：1、；2、；3、；4、；5、40022022；6、．三、（1）；（2）不存在．四、．五、不存在．第二试一、证略；二、n=3．三、p≠2,7,11,13时，324个；p=2时，162个；p=7,11,13时，180个．
