艾青中学2022学年第一学期高三理科数学第一次教学质量检测试卷时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则A．B．C．D．2．若，则“成立”是“成立”的A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件3．已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是A.B.C.D.4．命题P：“”的否定为（）A.B.C.D.5.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是A.2B.4C.6D.126.若，若的最大值为，则值A．B． C． D．7．设是双曲线上一点，(c>0)为左、右焦点，周长为6c，面积，则双曲线的离心率是（）A、B、C、2D、3-8-8.已知定义在上的函数满足:①;②；③当时，；则函数在区间上的零点个数为A.5B.6C.7D.8二、填空题（本大题共7小题，第9,10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9.设等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式为，当取最大值时，．10.已知直线与直线，若两直线平行，则的值为，若两直线垂直，则的值为.11.已知函数则,不等式的解集为12．已知，且，则的值为，的值为．13.如图：边长为4的正方形的中心为，以为圆心，1为半径作圆．点是圆上任意一点，点是边上的任意一点（包括端点），则的取值范围为.14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于.15.实数满足，设，则．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本题15分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．-8-17.（本题15分）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且.QPABC（第17题图）（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.18．（本题满分15分）已知函数（Ⅰ）当时，求使成立的的值;（Ⅱ）当，求函数在上的最大值；19．（本题满分15分）已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)，(1,0)，过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且||=3，(1)求椭圆的方程；-8-(2)过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.20.（本题14分）已知数列中，，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：对一切，有．答案：1、B2、C3、D4、D5、B6、A7、A8、A9.510.-2-11.3412.13.[﹣12，12]14.2+15.16．解：(1)方法一：由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.因为sinB≠0，所以cosA＝.-8-由于0<a<π，故a＝.方法二：由题设可知，2b·＝a·＋c·.于是b2＋c2－a2＝bc.所以cosa＝＝.由于0<a<π，故a＝.(2)方法一：因为2＝＝(2＋2＋2·)＝＝，所以||＝.从而ad＝.方法二：因为a2＝b2＋c2－2bccosa＝4＋1－2×2×1×＝3，所以a2＋c2＝b2，b＝.因为bd＝，ab＝1，所以ad＝＝.17.方法一：（ⅰ）证明：过点作于点，∵平面⊥平面∴平面又∵⊥平面∴∥又∵平面∴∥平面（ⅱ）解：∵平面∴又∵∴∴∴点是的中点，连结，则∴平面∴∥，∴四边形是矩形设∴，∴过作于点，∴，取中点，连结，取的中点，连结∵，∴∥∵∴∴∴为二面角的平面角-8-连结，则又∵∴即二面角的余弦值为方法二:（i）证明：同方法一（ⅱ）解：∵平面∴，又∵∴∴∴点是的中点，连结，则∴平面∴∥，∴四边形是矩形分别以为轴建立空间直角坐标系设，则，，，设平面的法向量为∵，∴又∵平面的法向量为……12分设二面角为，则又∵二面角是钝角∴即二面角的余弦值为。18.(满分15分)解：（ⅰ）…………4分（ⅱ）当…………6分当；…………8分当；…………10分-8-…………13分综上：…………15分19.(满分15分)（1）设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1分由PQ|=3，可得=3，………4分解得a=2，b=，故椭圆方程为=1………5分（2）设M，N,设的内切圆的径R，则的周长=4a=8，因此最大，R就最大………7分由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为x=my+1，………8分由得+6my-9=0，得………10分则………12分令t=,则t≥1,则-8-当且仅当t=1,m=0时，,∴=，………14分这时所求内切圆面积的最大值为π.………15分20.解（Ⅰ）由已知，对有，两边同除以n，得，即，于是，，即，所以，．又时也成立，故．（Ⅱ）当，有，所以时，有又时，故对一切，有．-8-</a<π，故a＝.方法二：由题设可知，2b·＝a·＋c·.于是b2＋c2－a2＝bc.所以cosa＝＝.由于0<a<π，故a＝.(2)方法一：因为2＝＝(2＋2＋2·)＝＝，所以||＝.从而ad＝.方法二：因为a2＝b2＋c2－2bccosa＝4＋1－2×2×1×＝3，所以a2＋c2＝b2，b＝.因为bd＝，ab＝1，所以ad＝＝.17.方法一：（ⅰ）证明：过点作于点，∵平面⊥平面∴平面又∵⊥平面∴∥又∵平面∴∥平面（ⅱ）解：∵平面∴又∵∴∴∴点是的中点，连结，则∴平面∴∥，∴四边形是矩形设∴，∴过作于点，∴，取中点，连结，取的中点，连结∵，∴∥∵∴∴∴为二面角的平面角-8-连结，则又∵∴即二面角的余弦值为方法二:（i）证明：同方法一（ⅱ）解：∵平面∴，又∵∴∴∴点是的中点，连结，则∴平面∴∥，∴四边形是矩形分别以为轴建立空间直角坐标系设，则，，，设平面的法向量为∵，∴又∵平面的法向量为……12分设二面角为，则又∵二面角是钝角∴即二面角的余弦值为。18.(满分15分)解：（ⅰ）…………4分（ⅱ）当…………6分当；…………8分当；…………10分-8-…………13分综上：…………15分19.(满分15分)（1）设椭圆方程为=1（a>
