东阳中学2022年下学期期中考试卷（高二数学）参考公式：球的表面积公式棱柱的体积公式S=4πR2V=Sh球的体积公式其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高．V=πR3棱台的体积公式其中R表示球的半径V=h(S1++S2)棱锥的体积公式其中S1、S2表示棱台的上、下底面积，h表示棱V=Sh台的高．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设u=(-2,2,5)，v=(6,-4,4)分别是平面a，b的法向量，则平面a，b的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定2.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=（ ）A．-3B．C．-6D．3．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（ ）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（ ）A．（x﹣2）2+y2=5B．x2+（y﹣2）2=5C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5D．（x+1）2+（y+1）2=55.已知两点M(0，2)，N(-3，6)到直线l的距离分别为1和3，则满足条件的直线l的条数是（ ）A．1B．2C．3D．46.在空间中，三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面a，b，下列命题正确的是（ ）A．若则B．若且则-8-\nC．若则D．若，则7．已知点A（﹣1.0），B（1，0），若圆（x﹣2）2+y2=r2上存在点P．使得∠APB=90°，则实数r的取值范围为（ ）A．（1，3）B．[1，3]C．（1，2]D．[2，3]8．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知边长为2的等边三角形ABC在空间做符合以下条件的自由运动：①A∈l，②C∈α，则B，O两点间的最大距离为（ ）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题，9-12题每题6分，13-15题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.9.已知圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，其半径r=，圆心C到直线x-y=2的距离为，圆C上的点到直线x-y=2距离的最小值为.10.由三条直线x=0,x+y-2=0,x-y-2=0围成一个封闭的平面图形，则该平面图形的面积是，若将此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的表面积是.11．某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm2．12.已知MN为长宽高分别为3,4,5的长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的一条直径，P为该长方体表面上任一点，则|MN|=，的最小值为.-8-\n13．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．14．已知点，，若圆上恰有两点，，使得和的面积均为，则的取值范围是．15．在侧棱长为的正三棱锥中，,为内一动点，且到三个侧面,,的距离为．若，则点形成曲线的长度为．三.解答题：本大题共5小题,满分74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16．（本题满分15分）设命题p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1没有公共点”，命题q：“mx2﹣x﹣4=0有一正根和一负根．”如果p与q有且仅有一个命题为真，求m的取值范围．17.（本题满分15分）如图，侧棱与底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1各侧棱和底面边长均为2，D、P分别是CC1、AB的中点，连结A1B，BD，A1D.AB1C1A1BCDP(第17题图)(Ⅰ)求证：直线CP∥平面A1BD；(Ⅱ)求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.18．（本题满分15分）已知圆过点，，并且直线平分圆的面积．（1）求圆的方程；（2）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的公共点．-8-\n①求实数的取值范围；②若，求的值．19.（本题满分15分）已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为菱形，且ÐABC=60°，AB=SC=2，SA=SB=.(Ⅰ)求证：平面SAB⊥平面ABCD；SABCD(Ⅱ)求二面角A-SC-D的余弦值.20．（本题满分14分）如图，圆与坐标轴交于点.⑴求与直线垂直的圆的切线方程；⑵设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，直线交直线于点，①若点坐标为，求弦的长；②求证：为定值.-8-\n高二数学期中答案一、BCADDDAC二、9.1，，10.4，.11． ， 12.，.13． ．14．（1，5）15．三.解答题：本大题共5小题,满分74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16．（本题满分15分）设命题p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1没有公共点”，命题q：“mx2﹣x﹣4=0有一正根和一负根．”如果p与q有且仅有一个命题为真，求m的取值范围．解：对命题P：直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1不相交，∴≥1，解得或m＜1﹣．p为真命题时m的取值范围是：A=．对命题q：则由题意得m≠0，△=1+16m＞0，＜0，解得m＞0．q为真命题时m的取值范围是：B={m|m＞0}．∵p∨q为真且p∧q为假，可知P与q有且只有一个命题为真命题．若P假q真时，∁RA∩B={m|m}；若P真q假时，A∩∁RB={m|}，综述：m的取值范围是：{m|m或}．17.（本题满分15分）如图，侧棱与底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1各侧棱和底面边长均为2，D、P分别是CC1、AB的中点，连结A1B，BD，A1D.AB1C1A1BCDP(第17题图)(Ⅰ)求证：直线CP∥平面A1BD；(Ⅱ)求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.-8-\nAB1C1A1BCDPEF17.解法一：(Ⅰ)取A1B的中点E，连接PE，DE，∵点D，P分别是CC1，AB的中点，∴四边形PEDC为平行四边形，即∥PC.又平面A1BD，DE平面A1BD，∴CP∥平面A1BD.………………………6分(Ⅱ)取AC的中点F，连，BF，则，因为侧面ACC1A1⊥底面ABC，所以BF⊥平面ACC1A1.即就是A1B与平面ACC1A1所成角.………………………………………10分∵直三棱柱ABC-A1B1C1各侧棱和底面边长均为2，∴A1B，，∴即直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.…………………………………15分解法二：以P为原点，CP,PB所在直线分别为x,y轴建立空间空间直角坐标系.…2分AB1C1A1BCDPyxz则A(0,-1,0)，B(0，1，0)，C(-D，，(Ⅰ)∵,，∴平面的法向量为m=(0,1,1).………5分又，所以.……………………………………………7分因为CP平面，∴CP∥平面A1BD.………………………………………9分(Ⅱ)因为，，所以平面的法向量为n=.………………………………………11分∴.即直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值为.……………………………15分18．（本题满分15分）已知圆过点，，并且直线平分圆的面积．-8-\n（1）求圆的方程；（2）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的公共点．①求实数的取值范围；②若，求的值．18．（1）；（2）①：实数的取值范围是，②：.19.（本题满分14分）已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为菱形，且ÐABC=60°，AB=SC=2，SA=SB=.SABCD(Ⅰ)求证：平面SAB⊥平面ABCD；(Ⅱ)求二面角A-SC-D的余弦值.19.解：（Ⅰ）作SH⊥AB于H，连CH，∵SA=SB=，AB=2，∴SA⊥SB，∴AH=BH=SH=1，又由ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴CH=，又SC=2，∴SC2=CH2+SH2，∴SH⊥CH.……………………………………3分SABCDHxyz又SH⊥AB，CH、AB是面ABCD内两条相交直线，∴SH⊥面ABCD，……………………………………………………………5分又SH面SAB，∴面SAB⊥面ABCD.………………………………7分(Ⅱ)以H点为坐标原点，HC、HB、HS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C(,0,0)，A(0,-1,0)，S(0,0,1)，D(,-2,0).…………9分∴，，∴平面ASC的法向量n1=，…………………………………………12分又，，∴平面SCD的法向量n2=，…14分∴，-8-\n即二面角A-SC-D的余弦值为.……………………………………………15分20．如图，圆与坐标轴交于点.⑴求与直线垂直的圆的切线方程；⑵设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，直线交直线于点，①若点坐标为，求弦的长；②求证：为定值.20．（1），（2）①：2，②：证明略.-8-
