武汉外国语学校2022—2022学年度上学期期末考试高二数学试题（理）试题考试时间：2022年2月3日上午10：20-12：20 试卷满分：150分 一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知复合命题是真命题，则下列命题中也是真命题的是()A．B．C．D．2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是则()A．B．C．D．质点在数轴上区间上运动，假定质点出现在区间各点处的概率相等，那么质点落在区间上的概率为（）A．B．C．D．以上都不对4.若在的展开式中，的系数为15，则a的值为（）A．-4B．C．4D．5.从某高中随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x(cm)160165170175180体重y(kg)6366707274根据上表可得线性回归方程，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为（）A．70.09kgB．70.12kgC．70.55kgD．71.05kg6.已知，若，则与的值可以是()A.B.C.D.2，27.双曲线的渐近线方程为()19\nA．B．C．D．8.执行如图所示的程序框图，输出的T=()A.29B.44C.52D.629.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.B.C.3D.210.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.288C.216D.96二、填空题（每小题5分，共25分）为了调查城市PM2.5的值，按地域把长三角地区36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18，若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为＿＿＿＿.从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选择中的概率是＿＿.13.过点（-2，3）且与直线垂直的直线方程为＿＿＿＿.14.的二项展开式中，x的系数与的系数之差为＿＿＿.15.已知椭圆的右焦点为19\n，离心率为e，设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为M，的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上，设直线AB的斜率为k，若，则e的取值范围为＿＿＿＿.三、解答题（共75分.）（12分）已知命题实数x满足，命题实数x满足当m=3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围;若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.17.（12分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．图１是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表． 图1：（甲流水线样本频率分布直方图） 表１：（乙流水线样本频数分布表）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；从乙流水线样本的不合格品中任取2件，求其中超过合格品重量的件数Y的分布列；（3）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．甲流水线 乙流水线 合计合格品不合格品合 计附：下面的临界值表供参考：19\n0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 (参考公式：，其中)18.（12分）如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在线段PA，BD上，且．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．19.（12分）为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品.（1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（2）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望；19\n（3）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．20.（13分）已知抛物线的焦点F在圆上，(1)求抛物线的标准方程；(2)过点F的直线交抛物线于A，B两不同点，交y轴于点N，已知，求的值.21.（14分）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点E是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AE、BE与直线分别交于M、N两点。(1)求椭圆C的标准方程；(2)求线段MN长度的最小值；(3)若线段MN的长度最小时，椭圆C上是否存在这样的点T，使得的面积为？若存在，确定点T的个数；若不存在，请说明理由。19\n☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆密 封 线考号姓名班级武汉外校高二理科数学考试答题卷一、选择题。（每小题5分，共50分）题号12345678910答案二、填空题。（每小题5分，共25分） 12. 13. 14. 15.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）17.（本小题满分12分）19\n(3)甲流水线 乙流水线 合计合格品不合格品合 计18（本小题满分12分）19\nwww.ks5u.com19（本小题满分12分）19\n20（本小题满分13分）21（本小题满分14分）19\n武汉外国语学校2022—2022学年度上学期期末考试高二数学试题（理）试题考试时间：2022年2月3日上午10：20-12：20 试卷满分：150分 一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知复合命题是真命题，则下列命题中也是真命题的是(B)A．B．C．D．2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是则(D)A．B．C．D．3.质点在数轴上区间上运动，假定质点出现在区间各点处的概率相等，那么质点落在区间上的概率为（C）A．B．C．D．以上都不对4.若在的展开式中，的系数为15，则a的值为（C）A．-4B．C．4D．5.从某高中随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x(cm)160165170175180体重y(kg)6366707274根据上表可得线性回归方程，据此模型预报身高为172cm19\n的高三男生的体重为（B）A．70.09kgB．70.12kgC．70.55kgD．71.05kg6.已知，若，则与的值可以是(A)A.B.C.D.2，27.双曲线的渐近线方程为(C)A．B．C．D．8.执行如图所示的程序框图，输出的T=(A)A.29B.44C.52D.629.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（A）A.B.C.3D.210.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（B）19\nA.360B.288C.216D.96二、填空题（每小题5分，共25分）11.为了调查城市PM2.5的值，按地域把长三角地区36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18，若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为＿＿＿4＿.12.从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选择中的概率是＿＿.13.过点（-2，3）且与直线垂直的直线方程为＿＿＿＿.14.的二项展开式中，x的系数与的系数之差为＿0＿＿＿.15.已知椭圆的右焦点为，离心率为e，设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为M，的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上，设直线AB的斜率为k，若，则e的取值范围为＿＿＿＿.三、解答题（共75分.）16.（12分）已知命题实数x满足，命题实数x满足当m=3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围;若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解：（1）若真：；当时，若真：………………3分∵且为真∴∴实数的取值范围为：………………6分（2）∵是的必要不充分条件∴是的充分不必要条件………………10分∵若真：∴且等号不同时取得（不写“且等号不同时取得”，写检验也可）∴．………………12分17.（12分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在19\n的产品为合格品，否则为不合格品．图１是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表． 图1：（甲流水线样本频率分布直方图） 表１：（乙流水线样本频数分布表）(1)若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；(2)从乙流水线样本的不合格品中任取2件，求其中超过合格品重量的件数Y的分布列；（3）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．甲流水线 乙流水线 合计合格品不合格品合 计附：下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 (参考公式：，其中)【解析】（1）由图1知，甲样本中合格品数为（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，故合格品的频率为，据此可估计从甲流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率P=0.9，则X～（5，0.9），EX=4.5---------（4分）（2）由表1知乙流水线样本中不合格品共10个，超过合格品重量的有4件；则Y的取值为0，1，2；且，于是有：∴Y的分布列为19\nY012P------（10分）（3）2×2列联表如下：甲流水线 乙流水线 合计合格品a=30b=3666不合格品c=10d=414合 计4040n=80=＞2.706∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关-------------（12分）18.（12分）如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在线段PA，BD上，且．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．【解析】试题分析：（1）首先表示正四棱锥各点坐标，再准确把垂直关系的判定转化为对应向量数量积为零，利用坐标形式进行计算，（2）直线与平面所成的角的计算，关键仍是平面的法向量的计算.利用向量垂直列出方程组，可解出法向量；再利用数量积，根据法向量与直线方向向量的余弦值的绝对值求直线与平面所成角的正弦值. 由于直线与平面所成角与法向量与直线方向向量的夹角不是相等或互补关系，而是互余或相差因此直线与平面所成角的正弦值等于法向量与直线方向向量的余弦值的绝对值，这是本题易错点.19\n试题解析：（1）因为正四棱锥的侧棱长与底边长都为. 2分则则 4分 5分（2）设平面的法向量为由得取得 7分则 9分设与平面所成角为则所以与平面所成角的正弦值为 12分考点：向量数量积，向量垂直，直线与平面所成角.19.（12分）为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品.（1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（2）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望；（3）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．19\n【解析】试题分析：（1）由古典概型计算公式可求得甲乙两厂生产的优等品率；（2）首先的取值为0，1，2，3，结合超几何分布及排列组合可求得的值，进而可得的分布列及其数学期望；（3）首先将所求概率分解为基本事件的和，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”，再利用二项分布求解．试题解析：（1）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为 1分乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为 2分（2）的取值为0，1，2，3. 3分 5分的分布列为0123 6分 19\n的数学期望为 8分 (3)抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件” 9分 10分 11分抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为 12分考点：1、排列组合；2、茎叶图；3、超几何分布；4、数学期望．20.（13分）已知抛物线的焦点F在圆上，(1)求抛物线的标准方程；(2)过点F的直线交抛物线于A，B两不同点，交y轴于点N，已知，求的值.【解析】：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，，∴抛物线 （2）设直线的方程为，则．联立方程组，消去得：且 由得：整理得：19\n． 21.（14分）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点E是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AE、BE与直线分别交于M、N两点。(1)求椭圆C的标准方程；(2)求线段MN长度的最小值；(3)若线段MN的长度最小时，椭圆C上是否存在这样的点T，使得的面积为？若存在，确定点T的个数；若不存在，请说明理由。解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为上顶点为 ∴故椭圆C的方程为。设直线AE的方程为，从而可知M点的坐标为，由得0 设，则（-2）×E,从而得，又由得所以可得BE的方程为19\n，从而可知N点的坐标为又∴当且仅当，即时等号成立∴时，线段MN的长度取最小值。由（2）可知，当MN取最小值时，此时的方程为，E∴要使椭圆C上存在点T，使得的面积等于，只须T到直线BE的距离等于，所以T在平行于BE且与BE距离等于的直线l′上。设直线l′：则由解得或当由得由于故直线与椭圆C有两个不同的交点当由得由于，故直线l′与椭圆C没有交点综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使得的面积等于。19
