稳派教育名校联盟2022年5月高二年级摸底考试数学（理科）本试卷共4页，共22题。满分150分。考试时间120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1．已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是（）A．B．C．D．【考点分析】本题主要考查复数的概念以及基本的运算能力．【参考答案】B【解题思路】根据，可得，所以选B．甲乙212323231422345311463404092．如图是2022赛季NBA纽约尼克斯队两名球星安东尼和林书豪每场比赛得分的茎叶图，则两人比赛得分的中位数之和是 .A．28B．38C．48D．58【考点分析】本题主要考查茎叶图的基础知识.【参考答案】D．【解题思路】根据茎叶图的基本概念计算即可.3．下列有关选项正确的是A．若为真命题，则为真命题.B．“”是“”的充分不必要条件.C．命题“若，则”的否命题为：“若，则”.D．已知命题：，使得，则：，使得.【考点分析】本题主要考查复合命题、充要条件和特称命题的否定等基础知识.【参考答案】B【解题思路】根据相关基本概念判断即可.4.一个正三棱柱的主（正）视图是长为,宽为2的矩形，则它的外接球的表面积等于A．B．C．D．12【考点分析】本题主要考查几何体的三视图、球的表面积等基础知识以及空间想象能力．【参考答案】C【解题思路】易得外接球的半径，所以外接球的表面积等于5.以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A．x2＋y2－10x＋9＝0B．x2＋y2－10x＋16＝0C．x2＋y2＋10x＋16＝0D．x2＋y2＋10x＋9＝0【考点分析】本题主要考查了双曲线与圆的几何性质和运用．考察了运算能力和推理能力．【参考答案】A【解题思路】右焦点(5,0)，渐近线y＝±，∴r＝4.6.阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（ ）A．0B．C．D．【考点分析】本题主要考查算法框图、三角函数的诱导公式、周期性.【参考答案】B【解题思路】该程序的功能是计算的值，根据周期性，这个算式中每连续个的值等于，故这个值等于第一个值的和，即．7.已知函数，若实数是函数的零点，且，则的值（）A．大于1B.大于0C.小于0D.不大于0【考点分析】本题考查函数的单调性和函数的零点以及计算和逻辑推理的能力.【参考答案】B【解题思路】因为函数是减函数，又因为，所以：8.从5种不同的水果和4种不同的糖果中各选出3种，放入如图123456所示的6个不同区域(用数字表示)中拼盘，每个区域只放一种，且水果不能放在有公共边的相邻区域内，则不同的放法有A.2880种 B.2160种C.1440种 D.720种【考点分析】本题考查排列组合知识的基本运用.【参考答案】A【解题思路】129.已知，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的平面区域为，向区域上随机投一点A，点A落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围为()A．B． C．D．【考点分析】本题考查几何概型的运算和线性规划的知识以及数形结合的解题思想。【参考答案】D【解题思路】由题意得所表示的平面区域为X轴上方的一个半圆，其面积为，由直线和曲线有两个不同的交点，可得直线必过一个特殊点（-2，0），当过点（0,2）时它们围成的平面区域的面积为，由点A落在区域内的概率最小值为得=0，由点A落在区域内的概率最大值为1时，可得=1，所以实数的取值范围为，故选D.10．已知函数的定义域为的导函数为，且对任意正数X均有，则下列结论中正确的是A.在(0，）上为增函数B.在(0，）上为减函数C若则D若，则【考点分析】本题考查函数、导数与不等式的知识，考查了对这些知识的灵活运用能力，以及对知识的转化能力．【参考答案】D【解题思路】由，又。即：在上单调递增，又，即：①同理：即：②①+②二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11.某中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生523xy12男生487490z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，则应在高三年级抽取名学生.【考点分析】本题考查抽样方法中的分层抽样.【参考答案】99【解题思路】由题设可知＝0.17，所以x＝510.高三年级人数为y＋z＝3000－(523＋487＋490＋510)＝990，现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：×990＝99.12．设k是一个正整数，(1＋)k的展开式中x3的系数为，则函数y＝x2与y＝kx－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为 .【考点分析】本题考查二项式定理和定积分的相关知识以及运算的能力．【参考答案】【解题思路】Tr＋1＝C()r，令r＝3，得x3的系数为C＝，解得k＝4.由得函数y＝x2与y＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3.所以阴影部分的面积为S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝.13．设若是与的等比中项，则的最小值为_____________．【考点分析】本题考查指对数式、基本不等式和等比中项的知识，考查了知识的熟练运用能力，以及对知识的转化能力．【参考答案】4【解题思路】因为，所以，，当且仅当即时“=”成立．14.设向量，，满足，且，则，则=_____________．【考点分析】本题主要考查向量的线性运算和数量积的基本运算．【参考答案】【解题思路】由得，又∵，∴，∴，即．11，32，4，64，6，8，10………………，………………………………15．如图所示的数表，对任意正整数满足以下两个条件：12①第一行只有一个数1；②第行共有个数，这行从左至右第一个数等于前一行所有数的平均数，这些数构成一个公差为2的等差数列，则：（1）第7行第一个数为；（2）第n行所有数的和为。【考点分析】本题主要考查了数列的应用，观察分析数据，总结、归纳推理数据规律的能力，以及运算转化能力.【参考答案】（1）16；（2）【解题思路】令为第n行所有数的和，由已知得，将上式变形得：，于是可求得三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知。（Ⅰ）求角A的大小：（Ⅱ）若，判断的形状。【考点分析】本小题主要考查正、余弦定理，三角形中的三角恒等变换等基础知识，本小题主要考查推理论证、运算求解等能力．解：（Ⅰ）在中，，又∴…………………………………………………………………5分（Ⅱ）∵，∴…………………7分∴，，，∴，12∵，∴…………………………………………………11分∴为等边三角形。…………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）图40.01250.0375为了解2022年我省某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将报考学生的体重数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选二人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.【考点分析】本题主要考察了频率分布直方图，离散型随机变量的期望与方差,以及离散型随机变量的概率分布和数学期望，同时考查计算能力．解：⑴设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为、、，则…………………………3分，解得……………4分因为…………5分，所以……………………………………………………………………6分⑵由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为……7分，所以……………………8分所以，，1，2…………………………9分012随机变量的分布列为：……………………………………………………………………11分则+1×＋2×=(或：)……12分18.（本小题满分12分）12已知数列的前项和，．（1）求的通项公式；（2）若对于任意的，有成立，求实数的取值范围．解：（1）因为，，所以．两式相减，得，即，∴，．------------------------------------------------3分又，即，所以．∴是首项为3，公比为3的等比数列．----------------------------5分从而的通项公式是，．--------------------------------6分（2）由（1）知，对于任意的，有成立，等价于对任意的成立，等价于．-----8分而，，----------------10分（注：也可以作差比较证明单调性，相应给分）∴是单调递减数列．----------------------------------11分∴，实数的取值范围是．-------------12分19．（本小题满分12分）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥,,点在线段上.（I）当点为中点时，求证：∥平面；（II）当平面与平面所成锐二面角12的余弦值为时，求三棱锥的体积.【考点分析】本小题主要考查空间线面位置关系的基本定理、多面体体积计算、（理）空间向量的应用，本小题主要考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．解：（1）以直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，所以.∴————————2分又，是平面的一个法向量.∵即∴∥平面——————4分（2）设，则，又设，则，即.——6分设是平面的一个法向量，则取得即又由题设，是平面的一个法向量，——————8分∴————10分即点为中点，此时，，为三棱锥的高，∴————————————12分20、（本题满分13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，F1，F2分别为其左、右焦点，P为椭圆上任意一点，且·的最大值为1，最小值为－2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆C的右顶点，直线l是与椭圆交于M，N两点的任意一条直线，若AM⊥AN，证明直线l过定点．【考点分析】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题解:(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，P(x0，y0)为椭圆上任意一点，所以＝(x0＋c，y0)，＝(x0－c，y0)，所以·＝x＋y－c2，12又因为＋＝1，所以·＝x＋b2－x－c2＝x＋b2－c2.因为0≤x≤a2，所以b2－c2≤·≤b2，因此所以因此a2＝4.所以椭圆方程为＋y2＝1.(2)①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得x2＋4(k2x2＋2kmx＋m2)＝4，化简得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝.因为AM⊥AN，所以A·A＝y1y2＋(x1－2)(x2－2)＝0，所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，所以＋＋＋4＝0，去分母得m2－4k2＋4m2－4＋16km＋4＋16k2＝0，整理得即12k2＋16km＋5m2＝0，整理得(2k＋m)(6k＋5m)＝0，所以k＝－，或k＝－m，当k＝－时，l：y＝－x＋m＝m过定点(2,0)，显然不满足题意；当k＝－m时，l：y＝－x＋m＝m过定点.②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点(x0,0)，由椭圆的对称性可知△MNA为等腰直角三角形，所以＝2－x0，化简得5x－16x0＋12＝0，解得x0＝或2(舍)，即此时直线l也过定点.21、（本题满分14分）已知函数（1）若有两个不同的极值点，求a的取值范围；12（2）当时，表示函数上的最大值，求的表达式；（3）求证：。【考点分析】本小题主要考查导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性、极值、不等式的证明等基础知识，考查运算能力以及分类讨论的数学思想方法.解：（1）（法一）设，，当时若，由，易知在时恒成立，无极值点.若，设的两根为且。,,故有0-0+∴当时，函数有两个极值点。…………4分（法二）………1分设，有两个极值点有两个大于的不等实根，∴当时，函数有两个极值点。…………4分（2）当时，由（1）知，12在为减函数，在为增函数，在上的的最大值为或，设，，，故，.（3）由（2）知在上有最大值，且仅在时取得.取，，则即法一：，，…，，.相加得：，，即：法二：用数学归纳法证明：当时，易知成立，假设当时，不等式成立，即成立时，=12=<（由归纳假设及，）∴当不等式也成立，故得证。12
