湖南省2022学年湘潭市第一中学高一下学期开学考试数学试题

湖南省湘潭市第一中学2022-2022学年高一下学期开学考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，3}，N={3，4，5}，则∁UM∩∁UN=（）A.1䁥2，3，4，B.1䁥2，4，5，6C.1䁥2，6D.62.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2-4x+3≤0}，则A∩B=（）A.香䁥1香B.香䁥1香C.香䁥2香D.香䁥2香香2.函数y=݊䁥香䁥的图象大致为（）A.B.C.D..下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A.ሺ香ݔ2香B.ሺ香ݔ香C.ሺ香ݔlg香D.ሺ香ݔsin香ሺ2ݔ香䁨香＜1.已知ሺ香ݔ是R上的单调递增函数，那么a的取值范香香1围是（）A.ሺ1䁥2ݔ䁨䁥1ሺ.Dݔ2䁥.C䁥1ሺ.Bݔ6.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为ሺ次为݊ݔ，ሺ中其，݊为次ݔ次ሺ，次ݔ݊为次ሺ，݊为次ݔ，则2输出的x为（）A.ሺcosݔcosB.ሺsinݔsinC.ሺsinݔcosD.ሺcosݔsin1/16\n7.若函数y=f（x）是奇函数，且函数F（x）=af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8，则函数y=F（x）在（-∞，0）上有（）A.最小值B.最大值C.最小值D.最小值6.已知函数f（x）的定义域为（4a-3，3-2a2），aR，且y=f（2x-3）是偶函数，又g香11（x）=x3+ax2++，存在x0（k，k+），kZ，使得g（x0）=x0，则满足条件的实22数k的个数为（）A.3B.2C.4D.19.已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）1117A.ሺ䁥䁥ݔ䁥䁥ሺ.Dݔ䁥䁥ሺ.Cݔ䁥䁥ሺ.Bݔ222110.定义在R上的偶函数f（x）满足：当x＞0时有ሺ香䁨ݔ香ሺݔ，且当0≤x≤3时，219f（x）=2|x-2|，则函数ሺ香ݔሺ香ݔ䁨香的零点个数是（）A.6个B.7个C.8个D.无数个11.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）22A.香䁨香B.log2香C.2香D.香12.用二分法求方程的近似解，求得f（x）=x3+2x-9的部分函数值数据如表所示：x121.51.6251.751.8751.8125f（x）-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程x3+2x-9=0的近似解可取为（）A.1.6B.1.7C.1.D.1.9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数ሺ香ݔ䁨䁨䁥香䁨䁥有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差香数列，则实数a的值为______．次为݊香䁨1，0香214.若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2，ሺ香1ݔ，香＞2若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______．香15.已知x，y（0，+∞），aR，若x3+lnx+2a2=0，䁨݊䁨݊2䁨20，则=______．116.x（0，）时，4x＜logax恒成立，则a的取值范围是______2三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）117.已知集合A={x|y=lg（x+3）+ln（2-x）}，B={x|≤2x＜8}，C={x|2a-1＜x≤a+5}．2（1）求A∩B；（2）若B∩C=B，求a的取值范围．\n2218.已知函数ሺ香ݔሺ䁨香ݔሺ香ݔ．（1）写出f（x）的单调区间，不需要说明理由；判断f（x）的奇偶性；1香（2）若ሺ香ݔሺ䁨ݔ＜0，求实数x的取值范围．2119.已知函数f（x）=．香2（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．20.已知抛物线y=x2-2（m-1）x+（m2-7）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为（3，0），求出点A的坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标．21.举世瞩目的大国工程港珠澳大桥历时9年的建设，于2022年10月24正式开通运营，它总长约55千米，跨越伶仃洋，连接珠海、香港和澳门，是“一国两制”下港珠澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程．一辆货车以速度v，km/h从香港某地经过港珠澳大桥到珠海某地，共行驶了80千米，大桥车速不得超过100km/h，2每小时的运输成本包括油费和人工费用，经过测算货车每小时用油ሺ䁨ݔ升，假0设油费每升7元，人工费每小时28元，大桥通行费120元/次．（1）当v=70时，这次行车的总费用y为多少元？并求行车的总费用y（单位：元）与速度v之间的函数解析式．（2）当v为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用（结果保留2位小/16\n数，21.1）22.已知函数f（x）=-x2+2mx+7．（Ⅰ）已知函数y=（x）在区间[1，3]上的最小值为4，求m的值；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x2-6x+11在区间[1，2]上恒成立，求实数m的取值范围．\n答案和解析1.【答案】D【解析】解：∁UM={4，5，6}，∁UN={1，2，6}；∴∁UM∩∁UN={6}．故选：D．进行补集、交集的运算即可．考查列举法的定义，以及补集、交集的运算．2.【答案】C【解析】解：集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，∴A∩B={x|2＜x≤3}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，则f（-x）=-ln|-x|=-ln|x|=f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当x→+∞时，y→+∞，排除A，∵f（e2）=-lne2=-2＜0，∴函数在x＞0时，存在负值，排除C，故选：D．判断函数的奇偶性和对称性，结合特殊值的符号是否一致，利用排除法进行求解即可．/16\n本题主要考查函数的识别和判断，利用函数奇偶性和图象对称性的关系，利用特殊值法以及排除法是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=2-x，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=x3，为幂函数，既是奇函数又在（0，+∞）上是增函数，符合题意；对于C，f（x）=lgx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，f（x）=sinx，是正弦函数，在（0，+∞）上不是增函数；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．5.【答案】C【解析】解：若函数f（x）是R上的单调递增函数，则满足，即，得≤a＜2，即实数a的取值范围是[，2），故选：C．根据分段函数单调性的性质进行转化求解即可．本题主要考查分段函数单调性的性质，结合每一个分段函数的单调性以及端点处函数值的大小关系是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：由程序框图的功能是输出的最大值，\n用特殊值α=，代入验证得出＜＜，即（cosα）sinα＜（sinα）sinα＜（sinα）cosα，则输出的x为（sinα）cosα．故选：C．由程序框图的功能是输出三个函数值中最大值，用特殊值α=代入验证即可得出结论．本题考查了利用程序框图比较函数值大小的应用问题，是基础题．7.【答案】C【解析】解：∵y=f（x）和y=x都是奇函数，∴af（x）+bx也为奇函数，又∵F（x）=af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8，∴af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6，∴af（x）+bx在（-∞，0）上有最小值-6，∴F（x）=af（x）+bx+2在（-∞，0）上有最小值-4，故选：C．由已知中f（x）和x都是奇函数，结合函数奇偶性的性质，可得F（x）-2=af（x）+bx也为奇函数，进而根据F（x）=af（x）+bx+2，在（0，+∞）上有最大值8，我们可得af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6，由奇函数的性质可得af（x）+bx在（-∞，0）上有最小值-6，进而得到F（x）=af（x）+bx+2在（-∞，0）上有最小值-4．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F（x）-2=af（x）+bx也为奇函数，是解答本题的关键．8.【答案】A【解析】7/16\n解：令2x1-3=4a-3，2x2-3=3-2a2，从而可得，x1=2a，x2=3-a2，故3-a2+2a=0；解得，a=3或a=-1；当a=3时，4a-3=9，3-2a2=-15；不成立；当a=-1时，成立；令h（x）=x3-x2-+，h′（x）=3x2-2x-=3（x-）（x-）；且h（-1）=-1-1++＜0，h（-）=--++=＞0；h（0）=＞0，h（）=--+=-＜0；h（1）=1-1-+＜0，h（）=--+=＞0；从而可知，k可以取-1，0，1三个数，故选：A．令2x1-3=4a-3，2x2-3=3-2a2，再由y=f（2x-3）是偶凼数可得a=-1；从而令h（x）=x3-x2-+，从而由零点的判定定理求解．本题考查了导数的综合应用及零点的判定定理的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：设Q（x，y，z）由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得，则有Q（λ，λ，2λ），当=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ2-8λ+5）根据二次函数的性质可得当时，取得最小值此时Q故选：C．\n可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（λ，λ，2λ），则由向量的数量积的坐标表示可得=2（3λ2-8λ+5），根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得，进而有Q（λ，λ，2λ），然后转化为关于λ的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用．10.【答案】B【解析】解：当x＞0时有，∴当x＞3时，f（x）=f（x-3）若3＜x≤6，则0＜x-3≤3，则f（x）=f（x-3）=×2|x-3-2|=|x-5|，若6＜x≤9，则3＜x-3≤6，则f（x）=f（x-3）=|x-3-5|=|x-8|，∵f（x）是偶函数，∴作出函数f（x）的图象如图：由=0得f（x）=-x+，作出函数h（x）=-x+，图象如图：则f（-3）=f（3）=2＜h（-3）=3，则当x≤-3时，两个函数没有交点，由图象知两个函数有7个交点，故函数g（x）的零点个数为7个，故选：B．9/16\n根据条件求出函数f（x）的解析式，结合函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行判断即可．本题主要考查函数零点个数的判断，结合条件求出函数的解析式，作出两个函数的图象利用数形结合是解决本题的关键．考查学生的转化能力．11.【答案】A【解析】解：对于选项A：y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符，对于选项B：y=iog2x为非奇非偶函数，与题意不符，对于选项C：y=2x2-3为偶函数，与题意不符，对于选项D：y=不存在零点，与题意不符，故选：A．由函数的奇偶性及函数的零点可判断y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，y=iog2x为非奇非偶函数，y=2x2-3为偶函数，y=不存在零点，故得解．本题考查了函数的奇偶性及函数的零点，属简单题．12.【答案】C【解析】解：由表格可得，函数f（x）=x3+2x-9的零点在（1.75，1.825）之间；结合选项可知，方程方程x3+2x-9=0的近似解可取为（精确度为0.1）可以是1.8；故选：C．由二分法及函数零点的判定定理可知．本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及二分法的应用，属于基础题．1113.【答案】或-1-62【解析】解：函数=0，得|x+a|--a=3，\n设g（x）=|x+a|--a，h（x）=3，则函数g（x）=，不妨设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞-a时，由f（x）=0，得g（x）=3，即x-=3，得x2-3x-4=0，得（x+1）（x-4）=0，解得x=-1，或x=4；若①-a≤-1，即a≥1，此时x2=-1，x3=4，由等差数列的性质可得x1=-6，由f（-6）=0，即g（-6）=3得6+-2a=3，解得a=，满足f（x）=0在（-∞，-a]上有一解．若②-1＜-a≤4，即-4≤a＜1，则f（x）=0在（-∞，-a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3=4，所以有x1，x2是-x--2a=3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4=0的两个解．得到x1+x2=-（2a+3），x1x2=4，又由设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2=x1+4，解得：a=-1+（舍去）或a=-1-．③-a＞4，即a＜-4时，f（x）=0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a=，或-1-．利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点问题，结合分段函数的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合函数零点个数，转化为分段函数，利用分段函数零点个数进行讨论是解决本题的关键．综合性较强，难度极大．111114.【答案】[-，-）∪（，]【解析】11/16\n解：∵当x＞2时，f（x）=f（x-1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期为1的函数，作出y=f（x）的函数图象如下：∵方程f（x）=kx恰有3个不同的根，∴y=f（x）与y=kx有三个交点，若k＞0，则，解得＜k≤，若k＜0，由对称性可知-≤k＜-．故答案为：[-，-）∪（，]．利用周期与对称性得出f（x）的函数图象，根据交点个数列出不等式得出k的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：∵x，y（0，+∞），x3+lnx+2a2=0，4y3+ln+ln+a2=0，∴8y3+lny+ln2+2a2=0，∴（2y）3+ln（2y）+2a2=0，∴x=2y，∴=2．故答案为：2．根据x3+lnx+2a2=0，，求出x=2y，求出的值．\n本题考查两数比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的运算性质的合理运用．216.【答案】[，1）2【解析】解：当a＞1时，当x大于0趋近于0时，4x趋近于1，logax趋近于负无穷，不等式不成立；当0＜a＜1时，f（x）=4x-logax在（0，）上单调递增，∴f（x）＜0恒成立⇔f（）≤0，即4≤loga，解得a≥，又0＜a＜1，∴≤a＜1，故答案为：[，1）当a＞1时，当x大于0趋近于0时，4x趋近于1，logax趋近于负无穷，不等式不成立；当0＜a＜1时，构造函数利用函数单调性可解决．本题考查了不等式恒成立．属中档题．香䁨㌳017.【答案】解：（1）∵2香㌳0，∴-3＜x＜2，∴A=（-3，2）1∵≤2x＜8，∴-1≤x＜3，∴B=[-1，3）2∴A∩B=[-1，2）．（2）∵B∩C=B，∴B⊆C，211∴∴-2≤a＜0，䁨∴a的取值范围为[-2，0）．【解析】（1）求解一元一次不等式组确定集合A、B，然后直接利用交集运算得答案；（2）由B∩C=B，得即可求a的取值范围．本题考查了交集及其运算，是基础题．222218.【答案】解：（1）f（x）的递增区间为（-，），∵f（-x）=log3（-x）-log3（+x）=-f（x）所以f（x）为奇函数．1香1香1香（2）f（x-）+f（）＜0⇔f（x-）＜-f（）⇔f（x-）＜f（-）2221/16\n21香2⇔-＜香＜-＜，21解得-＜香＜．6【解析】（1）根据复合函数的单调性知f（x）在定义域上为增函数，根据奇偶性定义判断出f（x）为奇函数；（2）根据函数的奇偶性和单调性以及函数定义域可解得．本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题．19.【答案】解：（1）函数的定义域{x|x≠0}，11则f（-x）=ሺ香ݔ2=香2=f（x），则函数f（x）是偶函数，（2）当x＞0时，设0＜x1＜x2，11香2香2ሺ香1䁨香2ݔሺ香2香1ݔ则f（x211）-f（x2）=香2香2=22=香2香2，12香1香212∵0＜x1＜x2，∴0＜x1+x2，x2-x1＞0，ሺ香1䁨香2ݔሺ香2香1ݔ则f（x1）-f（x2）=香2香2＞0，12则f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．【解析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可；（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．20.【答案】（1）∵抛物线y=x2-2（m-1）x+（m2-7）与x轴有两个不同的交点，∴方程x2-2（m-1）x+（m2-7）=0有两个不相等的实数根，∴△=4（m-1）2-4（m2-7）=-8m+32＞0，∴m＜4．（2）∵抛物线y=x2-2（m-1）x+（m2-7）经过点B（3，0），∴9-6（m-1）+m2-7=0，m2-6m+8=0，解得m=2或m=4．由（1）知m＜4，∴m=2．∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．令y=0，得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴点A的坐标为（-1，0）．\n又y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴顶点坐标为（1，-4），对称轴为直线x=1．【解析】（1）结合二次函数的性质得到△＞0，求出m的范围即可；（2）代入b的坐标，求出m的值，求出抛物线的解析式，求出A的坐标以及抛物线的对称轴和顶点坐标．本题考查了二次函数的性质，考查对称性，抛物线的对称轴和顶点坐标，是一道常规题．021.【答案】解：（1）当v=70时，行驶时间为=小时，707900∴y=7（3+）•+28•+120=288元．077200920y与v的函数解析式为：y=7（3+）•+28•+120=++120（0＜v≤100）．0920920（2）∵y=++120≥2+120=1122+120≈278.37．920当且仅当=即v=352≈49.49时取等号．∴当v=49.49时，这次行车的总费用最低，最低费用为278.37元．【解析】（1）求出行驶时间，再计算费用；（2）根据基本不等式即可求出最低费用及对应的速度．本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）函数对称轴x=-m，当-m≤2时，y2min=-3+6m+7=4∴m=1；当-m≥2时，y2min=-1+2m+7=4∴m=-1（舍）；∴m=1；（Ⅱ）∵不等式f（x）≤x2-6x+11在区间[1，2]上恒成立∴-x2+2mx+7≤x2-6x+11在区间[1，2]上恒成立2即m≤x-3+香2∴m≤（x+-3）min香∴m≤22-3．【解析】（Ⅰ）利用函数的性质可求得最值；1/16\n（Ⅱ）利用函数的最值可解决此问题．本题考查函数的性质．