怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2022年高三第二次模考理科数学试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．设集合，，则集合等于A．B．C．D．2．复数（其中为虚数单位）的虚部等于A．B．C．D．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为A.7B.6C.5D.44．在中，“”是“是直角三角形”的A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是A.2B.C.D.36．若数列满足，，则称数列为“梦想数列”.已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是A．2B．4C．6D．87．定积分的值为A.B.C.D.210\n8．已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点分别记作、,双曲线的右顶点为,，其双曲线的离心率为A．B．C．D．9.定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为A．B．C．D．10．已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则的值为A.B.C.1D.2第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）11.在极坐标系中，定点，点在直线上运动，则线段长度的最小值为__________．12.如图,、为圆的两条割线,若，，，，则.13.若不等式的解集为，则实数的取值范围是.（二）必做题（14~16题）14.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在115分以上的有_______人.10\n15.已知点满足条件（为常数），若的最大值为8，则.16.设是定义在上的增函数，对于任意的都有恒成立，若实数满足，则的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)已知向量，，其中，若函数的最小正周期为.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）如果的三边所对的角分别为，且满足,求的值.18．（本小题满分12分）从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；（Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为，求的概率分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，侧棱与底面成60°的角，．底面是边长为2的正三角形，其重心为点，是线段上一点，且．（Ⅰ）求证：//侧面；10\n（Ⅱ）求平面与底面所成锐二面角的正切值．20．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且对任意的，都有．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的首项为3，公比为3，设，且对任意的，都有成立，求实数的取值范围．21．(本小题满分13分)已知抛物线：的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M、N两点，且|MN|=4．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点P是抛物线上的动点，点B、C在y轴上，圆内切于，求面积的最小值．22．(本小题满分13分)已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的，求证：．怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2022年高三二模理科数学参考答案一、选择题题号1234567891010\n答案CBDACBADAC二、填空题11、；12、6；13、；14、8；15、；16、.三、解答题17解：（Ⅰ）因为……………………… 2分由的周期为得，即………… 4分由解得，所以的单调增区间为…………………6分（Ⅱ）由已知及余弦定理可知………………… 8分因为，所以………………… 10分所以………………… 12分18解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为…………… 4分（Ⅱ）同学甲被选中的概率为则同学甲被选中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21………… 8分（Ⅲ）根据题意，的可能取值为0、1、2、3，10\n，，所以，的分布列为：……………12分19解法1：（Ⅰ）延长B1E交BC于点F，∽△FEB，BE=EC1，∴BF=B1C1=BC，从而点F为BC的中点．∵G为△ABC的重心，∴A、G、F三点共线．且，又GE侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B……………5分（Ⅱ）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，∴B1H⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF，又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角．∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH．在Rt△B1HT中，，从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为……………12分解法2：（Ⅰ）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC．以O为原点建立空间直角坐标系O—如图，则，，，，，．10\n∵G为△ABC的重心，∴．，∴，∴．又GE侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．……………5分（Ⅱ）设平面B1GE的法向量为，则由得可取又底面ABC的一个法向量为设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为，则．由于为锐角，所以，进而．故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为……………12分20解：（Ⅰ）因为，当时，，两式相减，得（），又当时，，适合上式，从而（）……………5分（Ⅱ）因为数列的首项为3，公比为3，故，，所以．因为对任意的，都有成立，即恒成立，10\n化简得……………9分当为奇数时，恒成立，所以，即，当为偶数时，恒成立，所以，即，综合可得……………13分21解：（Ⅰ）已知，则过点F且斜率为1的直线方程为．联立消去y得：，设，则，所以|MN|==4，解得p=1．所以抛物线的方程为…………………………5分（Ⅱ）设，不妨设b>c，直线PB的方程为，化简得，又圆心（1,0）到直线PB的距离为1，故，即，不难发现，上式又可化为，同理有，所以b，c可以看做关于t的一元二次方程的两个实数根，则，10\n所以因为点是抛物线上的点，所以，则，又，所以．所以，当且仅当时取等号，此时，所以面积的最小值为8…………………………13分22解：（Ⅰ），当时，恒成立，则函数在上单调递增，此时函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，由，得，由，得，此时的单调递增区间为，单调递减区间为……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当m≤0时，f（x）在上递增，f（1）=0，显然不成立；当m＞0时，只需即可，令，则，得函数在（0,1）上单调递减，在上单调递增．10\n∴对恒成立，也就是对恒成立，∴，解，∴若在上恒成立，则……………8分（Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）得在上恒成立，即，当且仅当时去等号，又由得，所以有，即．则，则原不等式成立……………13分10
