2022-2022学年度衡阳市八中月考卷高二理科数学试卷考试时间：120分钟，总分150分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.命题“”的否定是（）A．B．C．D．2.一物体的运动方程是，则在一小段时间内的平均速度为（）A．0.41B．4.1C．0.3D．33.关于函数的极值，下列说法正确的是（）A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值D．若在内有极值，那么在内不是单调函数4.设是的导函数，的图象如图，则的图象只可能是A．B．C．D．5.若与是上的两条光滑曲线，则这两条曲线及所围成的平面图形的面积为（）-11-\nA．B．C．D．6.设两不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则下列推理①；②；③；④其中正确的命题序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④7.已知，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．45°D．90°8.椭圆的离心率为，则k的值为（）A．B．C．或1D．或19.如图所示，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M是的中点，N是上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直10.过双曲线的左焦点有一条弦PQ交左支于P、Q点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是（）A．28B．C．D．11.面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点P到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为-11-\n，此三棱锥内任一点Q到第个面的距离记为，若，则等于（）A．B．C．D．12.若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”．下列方程：①；②；③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．①④C．②③D．③④第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13.函数在区间上的极值点为________．14.已知函数，且在点处的切线的斜率为．则________．15.在直三棱柱中，底面为直角三角形，．已知G与E分别为和的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若，则线段DF的长度的最小值为________．16.如图，椭圆，圆，椭圆C的左、右焦点分别为、，过椭圆上一点P和原点O作直线交圆O于M，N两点，若，则的值为________．-11-\n三、解答题17.已知函数，（1）求的单调递减区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18.一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点A、B、C在圆柱上底面圆O的圆周上，平面，，，其正视图、侧视图如图所示．（1）求证：；（2）求锐二面角的大小．19.设函数（1）函数的单调区间；（2）若函数在区间内单调递增，求k的取值范围．20.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记，梯形面积为S．（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积S的最大值．-11-\n21.已知动圆过定点，且在y轴上截得弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；（2）已知点为一个定点，过E作斜率分别为、的两条直线交轨迹于点、、、四点，且、分别是线段、的中点，若，求证：直线过定点．22.已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数的值；参考答案-11-\n一、选择题1-10：DBDDCBBCCC11-12：BC二、填空题13.114.015.16.6三、解答题17.解：（I）f’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f‘(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f‘(x)>0，所以f(x)在上单调递增，又由于f(x)在上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间上的最小值为－7．18.方法1：（1）证明：因为，，所以，即．又因为，，所以平面．因为，所以．………………………………………5分（2）解：，．过点作于点，连接，AD11A11EBCOD由（1）知，，，所以平面．因为平面，所以．所以为二面角的平面角．由（1）知，平面，平面，所以，即△为直角三角形．在△中，，，则．-11-\n由，解得．因为．所以．所以二面角的平面角大小为．方法2：（2）解：设是平面的法向量，因为，所以即AD11A11EBCODxyz取，则是平面的一个法向量．由（1）知，，又，，所以平面．所以是平面的一个法向量．因为，所以．而等于二面角的平面角，所以二面角的平面角大小为．……………………………………12分19.【解析】（Ⅰ）由，得，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递增，-11-\n当时，，函数单调递减，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增；若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增，综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是.20.解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，解得 ，其定义域为．（II）记，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是的最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．-11-\n21.解：(1)设动圆圆心为O1(x，y)，动圆与y轴交于R，S两点，由题意，得|O1P|＝|O1S|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥RS交RS于H，则H是RS的中点，∴|O1S|＝，又|O1P|＝，∴=，化简得y2＝4x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝4x，∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y2＝4x.(2)由，得，AB中点，∴，同理，点……8分∴……10分∴MN：，即∴直线MN恒过定点．……12分22.（1）解：因为，所以．因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即．所以．（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．令，则，-11-\n令，则，所以函数在上单调递增．因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．所以．故整数的最大值是3．（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，所以当时，．即．整理，得．因为，所以．即．即．所以．证明2：构造函数，则．-11-\n因为，所以．所以函数在上单调递增．因为，所以．所以．即．即．即．所以．-11-
