湖南省醴陵市2022届高三数学上学期第一次联考试题理

湖南省醴陵市2022届高三数学上学期第一次联考试题理考试时量：120分钟；总分：150分注意事项：1．请在答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题仅有一个答案是正确的）1.已知全集，集合，，则（     ）A.        B.                         C.                             D. 2.已知（为虚数单位)，则复数的虚部为（  ）A.                                           B. 1                                          C.                                           D. 23．下列命题中正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“a＞0，b＞0”是“”的充要条件C．命题“x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：，使得x2+x﹣1≥04.已知F1，F2是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，-17-\n且sin∠MF2F1=，则E的离心率为（  ）A.                                          B.                                          C.                                          D. 25.设等差数列的前项和为，且，，则满足的最大自然数为（  ）A. 12                                         B. 13                                         C. 22                                         D. 23XYAXyBXyCXyD6.函数（其中为自然对数的底数）图象的大致形状是（   ）XYAXyBXyCXyDXYAXyBXyCXyD7.已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（   ）A. 2                           B. 3                           C. 4                     D. 58.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（  ）A.                             B.                                        C.        D. -17-\n9.某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方法的种数是（  ）A. 16                                         B. 24                                         C. 8                                         D. 1210.函数（）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（  ）A.B.C.D.11.已知数列的前n项和为，且满足，，，记，数列的前n项和为，若对，恒成立，则k的取值范围为（）A.                                   B.                            C.                       D. 12.已知四面体ABCD的外接球球心O恰好在棱AD上，且，，，则这个四面体的体积为（    ）-17-\nA.                          B.                             C.                             D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若满足不等式,则的最大值为________.14.已知向量与的夹角为，，，则________.15.已知函数，，若存在常数，对，唯一的，使得，则称常数是函数在上的“几何平均数”.已知函数，，则在上的“几何平均数”是．16.已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题需要写出必要的解答过程）17.（本小题满分12分）设的内角的对边分别为a,b,c且.（1）求角B的大小;（2）若，,求边a和c的值.18.（本小题满分12分）某数学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．-17-\n分数[50,59)[60,69)[70,79)[80,89)[90,100]甲班频数56441乙班频数13655（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）甲乙两班成绩未达优良的同学共15位，老师现从中任意抽取3人进行谈话，以便了解学习情况．在这3人中，记乙班成绩不优良的人数为，求的分布列及数学期望．附： ．     临界值表如下：0.01019.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，DQPCBA且.（1）证明：；（2）若为的中点，且，求二面角的大小.-17-\n20.（本小题满分12分）已知椭圆:(),过点，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ），是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两点，交椭圆于另一个点，求面积取得最大值时直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数，曲线在x=1处的切线方程为。（1）求a和b的值；（2）求函数在上的最大值；（3）证明：当x>0时，.22.（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，其中.（Ⅰ）求的极坐标方程；（Ⅱ）若与交于不同两点A和B，且，求的最大值.-17-\n2022届高三第一次联考数学（理科）参考答案一、单选题(每小题5分，共60分)题号123456789101112答案CDDACBBCABAD11.【答案】A【解答】由，得，两式作差得又，，可求得a3=4,所以数列是等比数列，且，代入 ，所以而恒成立，所以，故选A【分析】,得到两式子一减得到,进而求出的通项，将其通项代入,裂项得到，求其前n项和可以采用裂项相消法，最后便可以计算出k的范围。12.【答案】D【解答】∵，AC=2，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，∴△ABC外接圆的直径为AC,圆心O′为AC的中点∵球心O恰好在侧棱DA上,∴，又外接球球心O恰好在棱AD上，所以O为AD中点，所以//BC.即，，四面体的体积为.故答案为：D.【分析】由数据得到AB⊥BC,则直角△ABC外接圆的直径为AC,圆心O′为AC的中点,-17-\n得到DC⊥面ABC,再由体积公式求体积.二、填空题(每小题5分，共20分）13.【答案】14.【答案】615.【答案】16.【答案】16.【解答】由题得有三个零点，所以有三个零点，所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分，y=a(x-2)表示过定点（2,0）的直线，所以直线和粗线有三个交点.所以由题得,.所以,所以a的取值范围为.【分析】本题的突破口是研研究结构特征，从而将g(x)=0的零点问题转化为,于是可以通过作图加以研究解决。三、解答题（本大题共6小题，共70分)-17-\n17.【解答】（1）解:bsinA=acosB,由正弦定理可得.................2分即得>0.....................................................................................................................4分,................................................................................5分..........................................................................................................................................6分..（2）解:sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,...............................................................................8分由余弦定理,,解得...............................................................................10分................................................................................12分【分析】（1）利用正弦定理边化角，得B角的正切，求得B.（2）利用正弦定理角化边，再用余弦定理解得a和c.18.【解答】（1）解：根据题意得2×2列联表如下：甲班乙班总计成绩优良91625成绩不优良11415-17-\n总计202040..........................2分根据2×2列联表中的数据，得的观测值为，.......................................................4分在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.............6分（2）由题可知的可能取值为0,1,2,3．.......................................................................7分；；；．的分布列为：X0123P..............................................10分所以...............................................12分【分析】（1）将列联表填写完整，结合K2的计算公式，计算结果，即可得出答案。（2）分别计算出X=0，1，2，3的概率，列出分布列，计算期望，即可得出答案。19.【解答】（1）证明：∵，-17-\n∴，，∴........................................................1分又∵底面，∴........................................................2分∵，∴平面.............................................3分平面，.......................................4分∴平面平面...................................5分（2）解：由（1）知，DA,DB,DP两两垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AD=1得AB=2,，令，则，，，，，...............6分∴.∴，∴.....................................................................7分故，.-17-\n................................................8分设平面的法向量为，则，令，得，即..........................................................9分易知平面的一个法向量为，........................................10分则.............................................................11分∴二面角的大小为.............................................................12分【分析】（1）根据勾股定理得出BC⊥BD，结合PD⊥BC可得BC⊥平面PBD，利用平面与平面垂直的判定得出平面PBD⊥平面PBC；（2）建立坐标系，求出平面QBD和平面BCD的法向量，用空间向量求平面间的夹角，得出二面角的大小．（注：由于命题出现失误，此题第2问存在问题，应该没有固定结果，为使评价近似合理，建议阅卷作如下标准记分：学生采用“设AD=1”方法所得出参考答案中结果的记满分，学生采用设其他具体数据算出余弦值或角度的记满分，如果学生考虑周密认为只能设AD为字母参数而算不出结果也得满分。命题组给大家带来麻烦还敬请谅解）19.【解答】解：（1）由题意得.........................................2分-17-\n解得........................................4分所以椭圆方程为.........................5分方法二：由得....................................1分.....................................................................................2分由椭圆经过点P（0，2））得...................................3分所以......................................................................................4分所以椭圆方程为..................................................5分（2）由题知直线的斜率存在，不妨设为，则：.........................6分若时，直线的方程为，的方程为，易求得，，此时........................................7分若时，则直线：.圆心到直线的距离为.直线被圆截得的弦长为.-17-\n......................................8分.由 ，得，故 .......................................9分所以   .......................................10分当时上式等号成立......................................11分因为，所以面积取得最大值时直线的方程应该是.....................................12分【分析】（1）结合椭圆的基本性质列方程，即可得出答案。（2）分k=0和k不为0两种情况讨论，结合直线l1的方程和圆方程，用k表示|AB|的长，结合直线l2和椭圆方程，利用所截的弦长为,表示线段PD，结合三角形面积计算公式，即可得出答案。21【解答】解：（1），.................................1分由题设得，，，...........2分-17-\n解得，．................................3分（2）法1：由（1）知，，.........4分因为当时，所以当时，，故在上单调递增，.................................5分所以．................................6分法2：由（1）知，，.........4分在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，...........................5分所以，．...........................6分（3）因为，又由（2）知，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方．........7分下证：当时，．设，则，由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，又，所以存在，使得所以当时，；当，，-17-\n故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又（当且仅当时取等号）故.............................10分因为当时，故当时，当且仅当时取等号，所以当时．即，所以，即成立（当时等号成立）．……12分22【答案】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程为..........................2分再将，代入的普通方程中，得到的极坐标方程为．.....................................................................4分（Ⅱ）将代入，得.....................................................................6分令，得，已知，解得-17-\n  ......................................................................7分设，则，则............................................8分所以......................9分又，所以当即时的最大值为．...............................................10分【解析】（1）将参数方程化成普通方程，再利用代入，化简，即可得出答案;（2）把题目所求的式子转化成三角函数的形式，再求三角表达式的最大值，即可得出答案。-17-