2022年3月长望浏宁高三模拟考试理科数学试卷时量：120分钟总分150分考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1、集合，则A．B．C．D．2、设，则是的A．充要条件B．充分但不必要条件C．必要但不充分条件D．既不充分也不必要条件3、已知函数是偶函数，且，则A．－3B．－1C．1D．24、的展开式的常数项是A．2B．3C．-2D．-35、如下图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝3，则第5题图A、x＝，y＝B、x＝，y＝C、x＝，y＝D、x＝，y＝是否开始输入a,b输出Sa≥b?S=b(a+1)结束S=a(a-b)第6题图6、定义运算为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为-12-\nA．2B．-2C．-1D．17、已知最小正周期为2的函数在区间上的解析式是，则函数在实数集R上的图象与函数的图象的交点的个数是第8题图A．3B．4C．5D．68、已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为9、如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B(,—1)，C(,1)，D(0,1)，正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCDCBxyOAEDFf(x)=sinxg(x)=cosx区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A．B．C．D．第9题图第12题图10、若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为.已知数列满足，则下列结论中错误的是A.若，则可以取3个不同的值；B.若，则数列是周期为3的数列；C.且，存在，数列周期为；D.且，数列是周期数列.-12-\n二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，若全做，则按前两题记分）11、在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线和曲线C的公共点有个．12、如右上图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为．13、若,则的最小值为________.（二）必做题（14-16题）14、设实数满足，向量．若，则实数m的最小值为．15、已知两定点A(－1，0)和B(1，0),动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为.16、若函数在定义域内给定区间[a,b]上存在，满足，则称函数是[a,b]上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如是[-2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．若函数是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数的取值范围是.三、解答题：本大题共6个小题，满分75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17、（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记-12-\n为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求的分布列和数学期望.18、（本小题满分12分）第18题图如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出（米）关于（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过米?19、(本小题满分12分)第19题图如图，在四棱锥中，,四边形是菱形，且交于点，是上任意一点.（1）求证：；（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值.20、（本小题满分13分）为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10000辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设、分别为年里-12-\n投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。（1）求、，并求年里投入的所有新公交车的总数；（2）该市计划用年的时间完成全部更换，求的最小值．21、（本小题满分13分）如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹的方程；（Ⅱ）设直线与(Ⅰ)中轨迹相交于两点,直线的斜率分别为(其中)．△的面积为,以为直径的圆的面积分别为．若恰好第21题图构成等比数列,求的取值范围．22、（本小题满分13分）已知．(1)若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；(2)的图象与轴交于)两点,中点为，求证：平面．-12-\n2022年3月长望浏宁高三模拟考试理科数学参考答案一、选择题：（每小题5分，共50分）题号12345678910答案DCABDACBBD二、填空题：（每小题5分，共25分）11、1；12、4；13、；14、－2；15、；16、(0,2).三、解答题：（共75分）17、（12分）解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为、、，则分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：，，，，，，，．共有8种；2分其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：，，，，共有4种．3分根据古典概型的概率公式，所求的概率为．4分（说明：若学生先设“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成,,，,,,,，不扣分．）（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为．5分-12-\n所以，，，，，，9分012345610分故的分布列为：所以．故所求的期望为．12分解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为．1分（Ⅰ）设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则．4分（Ⅱ）因为为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以．5分所以，，，，，，9分故的分布列为：10分0123456-12-\n所以．故所求的期望为．12分18、（12分）（1）由题设可知，，1分又，所以，3分从而，再由题设知时，代入，得，从而，5分因此，.6分（2）要使点距离地面超过米，则有，8分即，又解得，即10分所以，在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过米的时间有分钟.12分19、（12分）（1）因为平面，所以，1分因为四边形为菱形，所以2分xyz又因为5分（2）连接在中，所以分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设则，-12-\n.6分由（1）知，平面的一个法向量为（1,0,0），设平面的一个法向量为，则得，令，得8分因为二面角的余弦值为，所以，解得或（舍去），所以10分设与平面所成的角为.因为，，∴所以与平面所成角的正弦值为.12分20、（13分）（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列；1分数列是首项为、公差为的等差数列，2分所以数列的前和，4分数列的前项和，6分所以经过年，该市更换的公交车总数；7分-12-\n（2）因为、是关于的单调递增函数，9分因此是关于的单调递增函数，10分所以满足的最小值应该是，11分即，解得，12分又，所以的最小值为147．13分21、（13分）（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．2分设其方程为，可知，，则，3分所以点Q的轨迹的方程为．4分(Ⅱ)设直线的方程为，，由可得，由韦达定理有：且6分∵构成等比数列，=，即：由韦达定理代入化简得：．∵，．8分此时，即．又由三点不共线得，从而．-12-\n故10分∵则为定值．12分∴∴当且仅当时等号成立．综上：的取值范围是．13分22、（13分）(1)依题意：．∴1分∵在上递增，∴对恒成立，即对恒成立，只需．3分∵，∴，当且仅当时取“＝”，4分∴，∴b的取值范围为．6分(2)由已知得两式相减，得．8分-12-\n由及，得10分令．∵，∴在上递减，∴．，即，12分又，．13分-12-
