德化一中2022年春季高二年第二次质量检查数学（理）本试卷分三大题，共4页。满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生先将姓名、班级和号数等考生信息填写在答题卡密封线内。2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．）1．若，则的值为()A.6B.7C.35D.202．下面几种推理中是演绎推理的是()A.由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B.猜想数列的通项公式为；C.半径为圆的面积，则单位圆的面积；D. 系由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为3．已知函数，则等于()A．B．C．D．4．从中得出第个等式是()A.B.C.D.5．若，则的值为()A.121B.122C.124D.1206．用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是()A．三角形的内角至少有一个钝角B．三角形的内角至少有两个钝角C．三角形的内角没有一个钝角D．三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角7.如右图，阴影部分的面积是()8A.B.C.D.8．在区间(0，1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若，则()A．B．C．D．9.已知随机变量服从正态分布，且，则=()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.210．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有()A．18种B．24种 C．54种 D．60种11．一个篮球运动员投篮一次得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为（投篮一次得分只能分、分、分或分），其中，已知他投篮一次得分的数学期望为，则的最大值为（）A．B．C．D．12．如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则()A.208B.216C.212D.220二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答题填在题中的横线上）13．已知（，是虚数单位），则的值为．14．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比化学先上，则不同的排法有______________种15．对于下列分布列有＝__________.－202Pac16.在展开式中的系数是______________817．对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：①任意三次函数都关于点对称：②存在三次函数有实数解，点为函数的对称中心；③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；④若函数，则，其中正确命题的序号为________________________(把所有正确命题的序号都填上）.三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（本小题满分12分）若的展开式的二项式系数和为128.(1)求的值;(2)求展开式中的常数项(3)求展开式中二项式系数的最大项19．（本小题满分13分）已知数列中，，（）.（1）计算，，；（2）猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.20．（本小题满分13分）3个同学分别从a，b，c，d四门校本课程中任选其中一门，每个同学选哪一门互不影响；（1）求3个同学选择3门不同课程的概率；（2）求恰有2门课程没有被选择的概率；（3）求选择课程a的同学个数的分布列及数学期望.21．（本小题满分13分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．图是甲流水线样本的频率分布直方图，表是乙流水线样本频数分布表．8(1)求从甲流水线上任取一件产品为合格品的频率；(2)若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取件产品(看作有放回的抽样)，求其中合格品的件数的数学期望及其方差；(3)从乙流水线样本的不合格品中任意取件，求其中超过合格品重量的件数的分布列及期望；22．（本小题满分14分）已知函数的图象过坐标原点O，且在点处的切线的斜率是-5.(1)求实数b、c的值；(2)求在区间[-1，2]上的最大值；(3)对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴.若存在请证明，若不存在说明理由.德化一中2022年春季高二年第二次质量检查数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．）题号123456789101112CCACBBCACBDB8答案二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答题填在题中的横线上）13.-214.6015.0.416.917.①②④三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（本小题满分12分）解：(1)…………………………………………………3分(2),令,,常数项为…………8分(3)…………………………………………12分19．（本小题满分13分）解：（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）猜想…………………………………………………6分证明：①当时，结论显然成立…………………………………………………8分②假设时，结论成立，即那么当时，即当时，等式成立．由①②知，对一切自然数都成立．……………………13分20．（本小题满分13分）解：（1）记“3个同学选择3门不同课程”为事件A，则…………4分(2)记“恰有2门课程没有被选择”为事件B，则……………8分8(3)设选择课程的人数为，则，…………………………………………11分的分布列如下：0123从而……………………………………13分21．（本小题满分13分）解：(1)由图１知，甲样本中合格品数为，故合格品的频率为……………………………………2分(2)据此可估计从甲流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率，则，故,………………6分(3)由表1知乙流水线样本中不合格品共10个,超过合格品重量的有4件；则的取值为；且，于是有：∴的分布列为012…………………………………………11分EY=0…………………………………………13分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当依题意，得解得b=c=0.…………4分8（II）由（I）知，①当令x变化时，的变化如下表：（-1，0）0-0+0-单调递减极小值单调递增极大值单调递减又上的最大值为2.②当时，当当上单调递增，在[1，2]上的最大值为综上所述，当在[-1，2]上的最大值为2；当在[-1，2]上的最大值为…………10分（III）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴的两侧，不妨设则为直角三角形，（1）是否存在P、Q等价于方程（1）是否有解.若代入（1）式得，即，而此方程无实数解，因此代入（1）式得，即（*）考察函数则上单调递增，当，的取值范围是方程（*）总有解，即方程（1）总有解.8因此对任意给定的正实数a，曲线上总存在两点P、Q使得是以点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上.…………14分8
