福建省南安第一中学2022-2022学年高一数学上学期期末考试试题本试卷考试内容为：数学必修2，试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．参考公式：柱体体积公式：，椎体体积公式：，其中S为底面面积，h为高；球的表面积公式：，其中R为球的半径．第I卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知直线经过点和点，则直线的斜率为（B）A．3B．-2C．2D．不存在2．圆与圆的位置关系是（B）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是（A）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④4．如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，为其上的三个点，则在正方体盒子中，等于（B）A．B．C．D．正视图侧视图俯视图5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（D）A．2B．C．D．36．已知是两条异面直线，，那么与的位置关系（C）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能相交7．自点作圆的切线，则切线的方程为（C）A．B．-12-\nC．或D．或8．如图中为四边形的斜二测直观图，则原平面图形是（ A ）Ａ．直角梯形Ｂ．等腰梯形Ｃ．非直角且非等腰的梯形Ｄ．不可能是梯形9．是直线的斜率，是直线的倾斜角，若，则的取值范围是（C）A．B．C．D．10．两圆相交于点，，两圆的圆心均在直线上，则（C）A．－1B．2C．3D．011．在体积为15的斜三棱柱中，是上的一点，的体积为3，则三棱锥的体积为（C）A．1B．C．2D．312．若动点分别在直线和上移动，点在圆C：上移动，则中点到点距离的最小值为（ A ）A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．在空间直角坐标系中，已知点，，点在轴上，且，则点的坐标为．14．已知点，，则线段的垂直平分线的方程是．15．过点作圆的弦，其中最短的弦长为.16．如图，三棱柱中，侧棱⊥底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列命题中：-12-\n①与是异面直线；②⊥底面；③二面角为钝角；④∥平面．其中正确命题的序号为④．（写出所有正确命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）求经过直线与直线的交点，且满足下列条件的直线的方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直．解：解得 所以交点…………4分（1）依题意，所求直线斜率…………6分故所求直线方程为，即： …………8分（2）依题意，所求直线斜率，…………10分故所求直线方程为，即：…………12分18．（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，，，，．-12-\n（1）求证：；（2）求与底面所成角的正切值．（1）证明：又…………8分（2）解：已知，连结AC，则就是与底面所成的角，则在直角三角形中，，，…………12分19．（本小题满分12分）如下的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在右边画出（单位：），为原长方体上底面的中心．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；（正视图）（侧视图）（2）以为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸写出点的坐标；（3）连接，证明：∥面．（正视图）（侧视图）（俯视图）-12-\n（1）解：如图（徒手作图不得分，尺寸不准确酌情给分）…………4分（2）解：建立如图直角坐标系zxy…………8分（3）证明：连接，依题意知：分别为原长方体所在棱中点，∥，∴∥∥，∴∥又∴∥又∵∴∥面……12分20．（本小题满分12分）已知圆，直线．（1）若圆与直线相离，求的取值范围；（2）若圆过点，且与圆关于直线对称，求圆的方程．解：（1）圆即圆心到直线l的距离，…………2分若圆与直线相离，则，∴即…………4分又即∴…………6分（2）设圆的圆心的坐标为，由于圆的圆心，依题意知：点和点关于直线对称，…………7分-12-\n则有：，…………10分∴圆的方程为:，又因为圆过点，∴，∴圆的方程为：……12分21．（本小题满分12分）如图，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起为，且平面平面。（1）求证：（2）求四棱锥的体积；（3）在棱上是否存在一点，使得∥平面，若存在，求出点的位置，不存在，说明理由。（1）证明：在长方形中，和为等腰直角三角形，∴，∴，即…………2分∵平面平面，且平面平面，∴平面，平面∴…………4分（2）取中点，连接，则∵平面平面，且平面平面，-12-\n平面，∴…………8分（3）解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ，若∥平面∵平面平面平面∴∥…………10分∴在中，，∵在梯形中∴，即∴在棱上存在一点，且，使得∥平面…………12分22．（本小题满分14分）已知直线，，为坐标原点，动点满足，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若直线与圆交于不同的两点，当时，求的值；（3）若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点．解：（1）设点，依题意知……2分-12-\n整理得，∴曲线的方程为……4分（2）∵点O为圆心，∠AOB=，∴点O到l的距离……6分∴=·……8分（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，……9分设，则该圆的方程为：（或用圆心，半径得）即又C、D在圆O：上∴即……12分由得∴直线CD过定点……14分-12-\n南安一中2022~2022高一年上学期数学期末考试卷参考答案选择题123456789101112BBABDCCACCCA填空题13、14、15、16、④三、解答题17．解：解得 所以交点…………4分（1）依题意，所求直线斜率…………6分故所求直线方程为，即： …………8分（2）依题意，所求直线斜率，…………10分故所求直线方程为，即：…………12分18．（1）证明：又…………6分（2）解：已知，连结AC，则就是与底面所成的角，在直角三角形中，，，…………12分（正视图）（侧视图）（俯视图）19．（1）解：如图（徒手作图不得分，尺寸不准确酌情给分）…………4分-12-\n（2）解：建立如图直角坐标系zxy…………8分（3）证明：连接，依题意知：分别为原长方体所在棱中点，∵∥，∴∥∵∥，∴∥又∴∥又∵∴∥面……12分20．解：（1）圆即圆心到直线l的距离，…………2分若圆与直线相离，则，∴即…………4分又即∴…………6分（2）设圆的圆心的坐标为，由于圆的圆心，依题意知：点和点关于直线对称，…………7分则有：，…………10分∴圆的方程为:，又因为圆过点，∴，∴圆的方程为：……12分21．（1）证明：在长方形中，和为等腰直角三角形，-12-\n∴，∴，即…………2分∵平面平面，且平面平面，∴平面，平面∴…………4分（2）取中点，连接，则∵平面平面，且平面平面，平面，∴…………8分（3）解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ，若∥平面∵平面平面平面∴∥…………10分∴在中，，∵在梯形中∴，即∴在棱上存在一点，且，使得∥平面…………12分22．解：（1）设点，依题意知……2分-12-\n整理得，∴曲线的方程为……4分（2）∵点O为圆心，∠AOB=，∴点O到l的距离……6分∴=·……8分（3）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，……9分设，则该圆的方程为：（或用圆心，半径得）即又C、D在圆O：上∴即……12分由得∴直线CD过定点……14分-12-
