2022-2022学年上学期期中考试高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1.已知全集U＝Z，A＝｛－1，0，1，2｝，B＝{x|x2=x}，则A∩B为（）A.{-1，2}B.{-1，0}C.{0，1}D.{1，2}2.命题“”的否定形式是( )A．B．C．D．3.设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.若||=3，||=1且（+）•=-2，则cos＜，＞=（ ）A.-B.-C.-D.5.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于( )A．4B．5C．6D．76.已知则（ ）A.C＞b＞aB.b＞c＞aC.b＞a＞cD.a＞b＞c-15-\n7.已知函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则f（-）=（ ）A.-B.-C.D.8.曲线在x=1处的切线的倾斜角为α，则cosα+sinα的值为（ ）A.B.C.D.9.若,则函数的两个零点分别位于区间()A.和内B.和内C.和内D.和内10.函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为()(A)(B)(C)(D)11.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则（）12.已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）-2af（x）+a-1=0（a∈R）有3个相异的实数根，则a的取值范围是（ ）A.（，+∞）B.（-∞，）C.（0，）D.{}-15-\n二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置)．13.若_________.14.15.已知,满足约束条件,若的最小值为,则16．数列{an}满足an+1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，且．(Ⅰ)求证数列是等比数列，并求的通项公式；(Ⅱ)设数列的前n项和为，求的表达式；18.（本小题满分12分）已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.19.（本小题满分12分）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.-15-\n20.（本小题满分12分）已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），直线、的斜率分别为，，证明：为定值.21．（本小题满分12分）已知函数，且，其中为常数．(1)若函数的图像在的切线经过点，求函数的解析式；(2)已知，求证：；(3)当存在三个不同的零点时，求的取值范围．22.请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．-15-\n22.（本小题满分10分以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设直线和曲线交于两点，求.23.（本小题满分10）已知函数（）（1）当时，解不等式；（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.泉港一中2022-2022学年上学期期中考试高三数学（理科）试题参考答案（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知全集U＝Z，A＝｛－1，0，1，2｝，B＝{x|x2=x}，则A∩B为（D）A.{-1，2}B.{-1，0}C.{0，1}D.{1，2}2.命题“”的否定形式是( B )A．B．C．D．3.设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( D )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件-15-\nC．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.若||=3，||=1且（+）•=-2，则cos＜，＞=（ C ）A.-B.-C.-D.5.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于( A )A．4B．5C．6D．76.已知则（ C ）A.C＞b＞aB.b＞c＞aC.b＞a＞cD.a＞b＞c7.已知函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=2x(1-x），则f（-）=（ A ）A.-B.-C.D.8.曲线在x=1处的切线的倾斜角为α，则cosα+sinα的值为（ A ）A.B.C.D.9.若,则函数的两个零点分别位于区间(B)A.和内B.和内C.和内D.和内10.函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为(C)-15-\n(A)(B)(C)(D)11.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则（B）．12.已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）-2af（x）+a-1=0（a∈R）有3个相异的实数根，则a的取值范围是（ D ）A.（，+∞）B.（-∞，）C.（0，）D.{}二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置)．13.若__3_______.14.已知，，则在方向上的投影为____4_____15.已知,满足约束条件,若的最小值为,则1/216．数列{an}满足an+1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为_1830_______三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设数列的前项和为，且．(Ⅰ)求证数列是等比数列，并求的通项公式；(Ⅱ)设数列的前n项和为，求的表达式；解：（Ⅰ）由得，二式相减得：，∴，∴数列是公比为2的等比数列，………………………3分-15-\n又∵.………………………5分（Ⅱ）∵，∴①，②…………8分①－②得，∴.…………………12分18.（本小题满分12分）已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.【答案】（Ⅰ）因为.………………………2分由直线是图象的一条对称轴，可得，………………3分所以，即．………………………………4分又，，所以，故.………………………………………5分所以的最小正周期是.………………………………………………………6分（Ⅱ）由的图象过点，得，即，即.………………………………7分故，……………………………8分由，有，………………………………………………9分所以，得，………………………11分-15-\n故函数在上的取值范围为.……………………12分19.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.解：(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,∵AB=,=,∴是正三角形,………………………3分∴⊥AB,∵CA=CB,∴CE⊥AB,∵=E,∴AB⊥面,∴AB⊥;…………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,………………………6分∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,………………………7分有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,),设=是平面的法向量,则,即,可取=(,1,-1),………………………9分-15-\n∴==,………………………11分∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为………12分20.已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.试题解析：（1）解：设，，联立方程组，消元得，所以，.……………………………………………………………………2分又，……………………………6分所以，从而抛物线的方程为.………………………………………5分（2）因为，，所以，，……………………………………………6分因此…………………………………8分-15-\n又，，……………………………………………………………9分所以.………………11分即为定值.……………………………………………12分[来21．已知函数，且，其中为常数．(1)若函数的图像在的切线经过点，求函数的解析式；(2)已知，求证：；(3)当存在三个不同的零点时，求的取值范围．21.（1）解：在中，取得………………2分………………4分（2）令：，则………………6分时，单调递减，-15-\n时，所以时，………………8分（3）①当时，在上，，递增，至多一个零点，不符题意；………………9分②当时，在上，，递减，至多一个零点，不符题意；………………10分③当时，令，解得，此时，在上递减，在上递增，在上递减，，使得又恰有三个不同的零点：综上所述，的取值范围是………………12分22.请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．22.选修4-4：坐标系与参数方程-15-\n以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设直线和曲线交于两点，求.解：（Ⅰ）因为，所以由，得…………………………3分因为消去得所以直线和曲线的普通方程分别为和.…………4分（Ⅱ）点的直角坐标为，点在直线上，设直线的参数方程：（为参数），对应的参数为.…………………………7分-15-\n…………………………10分23.选修4-5：不等式选讲已知函数（）（1）当时，解不等式；（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）依题意得当时，原不等式化为：，解得…………………2分当时，原不等式化为：，解得…………………3分当时，原不等式化为：，解得…………………4分综上可得，不等式的解集为…………………5分（Ⅱ）；…………………7；…………………8；…………………9所以的最小值为；-15-\n则，所以解得或……………10分（其它解法类似给分）-15-
