福建省福州市马尾区2022-2022学年高一数学上学期期中试题一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求。1．设集合，则（）A．B．C．D．2．已知集合，集合，下列从到的各对应关系不是函数的是()A．B．C．D．3．已知点在幂函数的图象上，则的表达式为（）A．B．C．D．4．设，则的大小关系是（）A．B．C．D．5.函数的零点所在的一个区间是()A．B．C．D．6．函数的定义域为（）A.B.C.D.7．函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8．若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为（）A.B.C.或D.或9．函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）8\n10.已知函数是奇函数，当x<0时，，那么当x>0时，的表达式为（）A．B．C．D．11．已知函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数，若,则的取值范围是（）A．B．C.D．12．方程的根为，方程的根为，则（）A.B.C.D.的大小关系无法确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。13.已知函数，则的值是．14．已知=3，则的值是15．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图,则不等式的解集为．16．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”。给出下列四个函数中：①；②；③；④，能被称为“理想函数”的有__（填相应的序号）．三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本题满分10分）计算下列各式8\n（1）（2）已知log73=alog74=b，求log748．（其值用a，b表示）18．（本题满分12分）已知集合，，全集（Ⅰ）当时，求和；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．19.（本小题满分12分）已知函数，（1）用函数单调性定义证明：在是增函数；（2）试求在区间上的最大值与最小值.20.（本小题满分12分）已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求使的的取值范围.21.(本题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？8\n22．(本题满分12分)设∈R，函数．（1）若=2，求函数在区间0，3]上的最大值；（2）若＞2，写出函数的单调区间（不必证明）；（3）若存在∈3，6]，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．8\n；14.7；15.；17解：（1）（2）﹣（）0﹣（3）+1.5﹣2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）log73=a，log74=b，log748=log7（3×16）=log73+log716=log73+2log74=a+2b．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18.解：（Ⅰ）当时，，……6分（Ⅱ）,①若,则解得；……8分②若,则解得综上：的取值范围是……12分19．证明：（1）任取且则且，为上的增函数。……6分8\n（2）令则由（1）可知在上为增函数，则……12分20.解：（1），函数的定义域为.的定义域关于原点对称……2分又，为奇函数.……6分（2）当时，当时，.综上可知：当时，都范围是；当时，都范围是……12分21.解：（1）f（x）=k1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．（0≤x≤20）令，则==所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，ymax=3万元22.解：（1）当a=2，x∈0，3]时，作函数图象，8\n可知函数f（x）在区间0，3]上是增函数．所以f（x）在区间0，3]上的最大值为f（3）=9．（2）①当x≥a时，．因为a＞2，所以．所以f（x）在a，+∞）上单调递增．②当x＜a时，．因为a＞2，所以．所以f（x）在上单调递增，在上单调递减．综上所述，函数f（x）的递增区间是和a，+∞），递减区间是，a]．（3）当3≤a≤6时，由（1）知f（x）在和a，+∞）上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解．即8\n令，g（a）在a∈3，6]时是增函数，故g（a）max=4．∴实数t的取值范围是(0，4).8
