福建省福州市马尾区2022届高三数学上学期期中试题文一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。1.设集合，集合，则（）A．B．C．D．2.复数为虚数单位）实部与虚部的和为（）A.B.C.D.3.函数f(x)＝(1－cosx)sinx在－π，π]的图象大致为( )．4.已知等边三角形△的边长为，其重心为，则（）A．B.C.D.5.若，，，则（）A.B.C.D.6.“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.已知曲线，，则下列说法正确的是（）A．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线16\nB．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线D．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9.设x，y满足约束条件则的最大值是（）A．B．C．D．10.已知椭圆C：的右焦点为，圆:，双曲线以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆相切，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若的“分裂数”中有一个是2022，则值为（）16\nA．45B．46C．47D．4812.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13.设单位向量，的夹角为，，则.14.函数在点处的切线方程为.15.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则__________．16.已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，则球的表面积为_________．三、解答题：17.（本小题满分10分）已知函数．（Ⅰ）求函数的递增区间；（Ⅱ）的角所对边分别是，角的平分线交于，，，求．18.（本小题满分12分）在等差数列中，，，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19.（本小题满分12分）在中，角对应的边分别是,已知.(I)求角的大小；(II)若,求△ABC的面积.16\n20.（本小题满分12分）如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面，点为的中点．（1）求证：∥平面；（2）若，求三棱锥的体积．21.（本小题满分12分）已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M.（Ⅰ）当P点在圆周上运动时，求点M(x，y)的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程.22.（本小题满分12分）已知函数,（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.2022-2022学年度第一学期高三半期考试文科数学试题时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题16\n一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，.2.复数为虚数单位）实部与虚部的和为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，实部为1，虚部为1，和为2，故选A.3.函数f(x)＝(1－cosx)sinx在－π，π]的图象大致为( )．C4.已知等边三角形△的边长为，其重心为，则（）A．B.C.D.C16\n5.若，，，则（）A.B.C.D.D6.“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的( )AA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7已知曲线，，则下列说法正确的是（）A．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线D．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线【答案】B【解析】对于A，,对于B,,对于C，,对于D，,16\n显然选B.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】该几何体如图所示，9.设x，y满足约束条件则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可行域可知，16\n10.已知椭圆C：的右焦点为，圆:，双曲线以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆相切，则椭圆C的离心率为（）BA．B．C．D．11.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若的“分裂数”中有一个是2022，则的值为（）A．45B．46C．47D．48【答案】A【解析】从到正好用去从3开始的连续奇数个，2022是从3开始的第1008个数，所以12.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得令，则在上递减，在上递增，所以又当时，，，所以实数的取值范围是.16\n第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案填在答题卡相应位置.13.设单位向量，的夹角为，，则.【答案】【解析】由得，.14.函数在点处的切线方程为.【答案】【解析】，，所以，.15.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则__________．【答案】【解析】如图，圆的圆心为(0,0)，半径，16\n因为弦，所以直线经过圆心，所以.直线的方程为.所以直线的倾斜角.在中，..16.16.已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，则球的表面积为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题满分10分）已知函数．（Ⅰ）求函数的递增区间；（Ⅱ）的角所对边分别是，角的平分线交于，，，求．17解（Ⅰ），递增得到，解得，所以递增区间是；6分（Ⅱ），得到16\n，由得到，所以角,由正弦定理得，所以，．12分18.（本小题满分12分）在等差数列中，，，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】（1）.（2）…………-得:,19.（本小题满分12分）在中，角对应的边分别是,已知.16\n(I)求角的大小；(II)若,,求△ABC的面积.【答案】(I)；(II)【解析】试题分析：(I)由两角和的余弦公式可得到关于的二次函数，从而求得，则。(II)由正弦定理及余弦定理可得到关于a,c的方程组，从而求得c的长，再由三角形的面积公式即可求解。试题解析：(I)由，得，即…………………………2分解得……………………………………………………4分因为，所以……………………………………………………………6分(II)由又由正弦定理，得…………8分由余弦定理，得,又，所以…………10分20.（本小题满分12分）19．（本小题满分12分）如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面，点为的中点．16\n（1）求证：∥平面；（2）若，求三棱锥的体积．20.（1）证明：∵△是等腰直角三角形，，点为的中点，∴．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．…………4分∵平面,∴∥．…………5分∵平面,平面,∴∥平面．…………6分（2）法1：由（1）知∥平面,∴点到平面的距离等于点到平面的距离．…………7分∵，△是等边三角形,点为的中点∴…………8分∴…………10分…………12分法2：由（1）知∥平面,∴点到平面的距离等于点到平面的距离．…………7分过作，垂足为点，∵平面,平面,∴．∵平面,平面,，∴平面．…………9分∵，△是等边三角形，∴，，．…………10分∴．16\n∴三棱锥的体积为．…………12分21.已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M.（Ⅰ）当P点在圆周上运动时，求点M(x，y)的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程.21.解：(Ⅰ)依题意可得：圆N的圆心坐标为N(,0),半径为,|MP|=|MQ|,………1分则|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ|……………………………………………2分根据椭圆的定义，点M的轨迹是以N、Q为焦点，长轴长为的椭圆，即2a=,2c=，∴b=.…………………………………………3分所以点M的轨迹C的方程为：.……………………………………………4分(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程，得消去y并整理得.……………………6分因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=，化简得：①…………………7分由韦达定理得：.………………………………8分∴.∵，∴x1x2+y1y2=0，即，………………………9分整理得满足①式，∴，即原点到直线l为的距离是，∴直线l与圆相切.……………………………………………………10分当直线的斜率不存在时,直线为x=m,与椭圆C交点为A(m,),B(m,)∵,∴.此时直线为x=，显然也与圆相切.…………………………………11分16\n综上，直线l与定圆E：相切.…………………………………………12分22.（本小题满分12分）已知函数,（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.【解析】（1）依题意：的定义域为，，当时，，在上单调递增，当时，令，得，令，得；令，得，在上单调递增，在上单调递减。（2）由得：，当时，，满足题意；…………………………7分当时，设，在上单调递增，，不合题意；当时，令得，令得16\n，则，综上所述，的取值范围为.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为（I）求该双曲线方程.（II）是否定存在过点，）的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段的中点？若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由.16
