莆田四中2022-2022学年高二上学期第二次月考理科数学（选修２-1选修2-2）考试卷命题者：翁建新审核者：黄旭东2022.12.27一.选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卷上)1.抛物线的准线方程是()A.B.C.D.2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过秒后的位移为,那么速度为零的时刻是()A.秒B.秒末C.秒末D.秒末和秒末3.下列命题中,真命题是的（ ）A．B．C．的充要条件是D．是的充分条件4．如右图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．5.过点与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（ ）条A．1B．2C．3D46.空间四边形OABC中，=，=,=，点M在OA上，且OM=2MA,N为线段BC的中点，则=（）A.-+B.-++C.+-D.+-7.椭圆的两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆上的一点，已知PF1PF2，则PF1F2的面积为（）A.9B.12C.10D.88.已知抛物线的准线与双曲线交于,两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为（）10\n....9.如图,函数的图像是中心在原点,焦点在轴上的椭圆的两段弧,则不等式的解集为（）ABCD10.椭圆的焦距为,过点作圆的两条切线，切点分别为.若椭圆的离心率的取值范围为，则的取值范围为（ ）A．B． C．D．二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）11.已知（3，4,-8），（-3，x，y）,与共线，则x+y=________.12.如右图长方体中，AA1=AB=4，AD=2，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则直线A1E，FG所夹的角的余弦值为.13.已知定点，点P为抛物线上一动点，F为抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为.14.已知函数，则.15.以下四个命题：①¬q是¬p的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；②和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为；③当无限趋近于0时，无限趋近于；④设点,,点P满足，则点P的轨迹为椭圆；其中真命题为（写出所以真命题的序号）。三、解答题(共6题,共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.（本小题满分13分）10\n已知函数＝，（1）求在点处的切线方程；（2）求的单调区间.17．（本小题满分13分）若双曲线与椭圆有相同的焦点，与双曲线:有相同渐近线.(1)求的实轴长和渐近线方程；（2）求的方程.18.（本小题满分13分）如图1－6，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，且BD=2，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)求点D到平面ABC的距离．19.（本小题满分13分）如图，某旅游区拟在公路(南北向)旁开发一个抛物线形的人工湖，湖沿岸上每一点到公路的距离与到A处的距离相等，并在湖中建造一个三角形的游乐区，三个顶点都在湖沿岸上，直线通道MN经过A.经测算，A在公路正东方向200m处，C在A的正西方向100m处。现以点C为坐标原点，以线段CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。（1）求抛物线的方程；10\n（2）试判断是否存在直线通道MN，使得三角形的游乐区的面积为？并作说明。20.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（1）求证：∥平面；（2）求二面角的余弦值；（3）试问线段上是否存在点，使与平面成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．21.（本小题满分14）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴端点分别为，且四边形是边长为的正方形。(1)求椭圆的方程；(2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结交椭圆于，证明为定值（为坐标原点）；K^S*5U.C#O%(3)在(2)的条件下，试问在x轴上是否存在异于点的定点，使以线段为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由10\n莆田四中2022-2022学年高二上学期第二次月考理科数学考试答案卷一、选择题DDDCC,BACCA二、填空题405③三、解答题16.解：（1）为切线，，，切线方程6分（2），…………………………………………………7分，由，，……………………………………9分由，………………………………………………11分的单调增区间：，减区间：……………………………………13分解：17．(1)中：实轴长，可得渐近线方程；……5分（2）法一：依题意可设所求的双曲线的方程为…………6分即…………………………………………………………………………7分又双曲线与椭圆有相同的焦点解得……………11分10\n求的标准方程为………………………………………………13分法二：设：，……………………………………6分可得求得……………………………………………11分求的标准方程为……………………………………………13分18.解：(1)∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.…………………………………………………6分（2）由（1）知，如图建立空间直角坐标系，由BD=2，则D(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,),………………………………7分设平面的法向量为,由，，有，，取，有，得，又…………10分点D到平面的距离是………………………………13分19.解:（Ⅰ）依题意，设所求的抛物线方程为，∵抛物线的焦点，，所求的方程为.………………………4分（Ⅱ）解法1：设点M、N的坐标分别为，直线的方程为10\n，5分联立消去，得到，………………………………7分，……………………………………………8分，=，当时，=.………………………………………………………………12分答:存在两条MN的直线通道使面积是.………………………………………………13分解法2:设点M、N的坐标分别为.①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，；…………………………………………………5分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，易知，……………………………………………6分联立消去，得到，…………………………7分，………………………………………………8分，=，综合①与②可知，当直线MN的斜率时，取到.………………12分答:存在两条MN的直线通道使面积是.……………………………………………13分20.解：（Ⅰ）证明：连结，交于点，连结.由是直三棱柱，得四边形为矩形，为的中点.又10\n为中点，所以为中位线，所以∥，………………………………………………………………………………………13分因为平面，平面，所以∥平面.……………………4分（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.如图建立空间直角坐标系.………………………………………………………………………5分设，则.所以，设平面的法向量为，则有所以取，得.……………………………………………………7分易知平面的法向量为.……………………………………………………………8分由二面角是锐角，得.所以二面角的余弦值为.…………………………………………9分（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点,设.在线段上，由=且其中，即，，.,10\n以由（2）知与平面成角，所以.即，，所以在线段上不存在点.………………………………………………………14分21.解:(Ⅰ)如图，由题知，………………4分(Ⅱ),则可设………………………5分……………………9分(Ⅲ)设，由题知成立使得以为直径的圆恒过的交点………………14分10\n10
