“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考2022-2022学年第一学期半期考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）第I卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列的通项公式为，则的第项是（）A．B．C．D．2．在中，,,,则等于（）A．B．C．D．3.等比数列的前项和则的值为（）A.B.C.D.4.在中，分别是角的对边，若，则的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形5.各项均为正数的等比数列，前项和为，若，，则()A．B．C．D．6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A．6斤 B．9斤C．9.5斤D．12斤7.若实数满足，则的最小值为()A．B．C．D．8.设等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为（）A.B.C.或D.9\n9.已知正数的等差中项是，且，则的最小值是（）A．B．C．D．10.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为()A．B．C．D．11.如图，某景区欲在两山顶之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，,在水平面上处测得山顶的仰角为，山顶的仰角为，,则两山顶之间的距离为（）A．B．C．D．12.中，角的对边长分别为，若，则的最大值为()A．1B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则的最小值为_______________．14.已知中，，，，则面积为_________.15.在数列中，已知，，记为数列的前项和，则________.16．已知首项为2的正项数列的前项和为，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围为_______________．9\n三、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）．设是公比为正数的等比数列，若，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求证：数列的前项和．18．（本小题满分12分）已知关于的不等式的解集为．（1）求的值；（2）解关于的不等式．19．（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，若．（1）求角；（2）若的面积为，，求的值．20．（本小题满分12分）在中，设角,,的对边分别为,,，已知（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.9\n21．（本小题满分12分）已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若，，求成立的正整数的最小值．22．（本小题满分12分）某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元．（1）问第几年开始获利?（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船．问：哪一种方案合算？请说明理由．9\n“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考2022-2022学年第一学期半期考高二数学（理科）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）题号123456789101112答案BDCBCADACBAD二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13、14、15、16、三、解答题（第17题10分，18－22题每题12分，共70分）17、解：(1)设等比数列的公比为，∵，，成等差数列∴即，……………………………（2分）即，解得或(舍去)，∴.……………………………（4分）所以的通项为()……………………………（5分）(2)由上知∵，∴，……………………………（7分）∴……………………………（9分）∴……………………………（10分）即数列的前项和为．18、解：（1）由题意知：且和是方程的两根，……………………………（2分）由根与系数的关系有，解得……………………………（6分）9\n（2）不等式可化为，即．……………………………（8分）其对应方程的两根为①当即时，原不等式的解集为；……………………………（9分）②当即时，原不等式的解集为；……………………………（10分）③当即时，原不等式的解集为；……………………………（11分）综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；……………………………（12分）19、解：（1）（法一）：在中，由正弦定理得∴……………………………（2分）又，∴，∴……………………………（4分）∴……………………………（5分），故……………………………（6分）（法二）由余弦定理得………………………（2分）∴……………………………（3分）∴,……………………………（5分）,故．……………………………（6分）（2），所以．……………………………（7分）又∴由余弦定理得∴……………………………（9分）又由正弦定理知……………………………（10分）∴即∴……………………………（12分）20、（1）由题意知……………………………（1分）即……………………………（2分）9\n由正弦定理得……………………………（3分）由余弦定理得……………………………（4分）又，故……………………………（5分）（2）（法一）：由上知，∴由余弦定理有，……………………………（6分）又，∴，……………………………（7分）又∵∴，(当且仅当时取等号)……………………………（8分）∴，即解得，(当且仅当时取等号)……………………………（10分）又∵三角形两边之和大于第三边,即∴……………………………（11分）∴……………………………（12分）所以的周长的范围为（法二）由正弦定理知∴,……………………………（6分）又则的周长…………………………（8分）∵∴∴……………………………（10分）∴，所以的周长的范围为.……………………………（12分）9\n21、解：（1）由………①当时，………②……………………………（2分）①–②得即……………………………（3分）当时，也满足上式……………………………（4分）∴……………………………（5分）(2)由(1)得,,……………………………（6分）所以………①∴………②……………………………（7分）①－②，得……………………………（9分）依题意，即即成立，……………………………（10分）又当时,,当时,.……………………………（11分）故使成立的正整数的最小值为5.……………………………（12分）22、解：（1）设第n年开始获利，获利为y万元，由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，故n年的总费用为．……………………………（2分）∴获利为……………………………（4分）由即解得……………………………（5分）∵n∈N*，∴n＝4时，即第4年开始获利．……………………………（6分）（2）方案一：n年内年平均获利为．由于，当且仅当n＝9时取“＝”号．∴ （万元）．即前9年年平均收益最大，此时总收益为12×9＋46＝154（万元）．……………………………（9分）方案二：总纯收入获利．9\n∴ 当n＝15时，取最大值144，此时总收益为144＋10＝154（万元）．……………………………（11分）∵两种方案获利相等，但方案一中n＝9，所需的时间短，∴方案一较合算．……………………………（12分）9
