此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号2022-2022学年高三上学期协作校第二次考试理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，则（）A．B．C．D．2．已知复数（是虚数单位），则的实部为（）A．B．C．D．3．函数的图象可能是（）A．B．C．D．4．已知向量，，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定6．在中，，，分别是角，，的对边，，则角（）A．B．C．D．7．执行如图所示程序框图，输出的（）A．25B．9C．17D．208．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为（）A．B．C．D．9．长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．设函数，则（）A．在单调递增，其图象关于直线对称B．在单调递增，其图象关于直线对称C．在单调递减，其图象关于直线对称D．在单调递减，其图象关于直线对称311．已知函数，且，则实数的值是（）A．1B．2C．3D．412．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则（）A．4B．C．2D．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为__________．14．若，满足约束条件，则的最小值为__________．15．已知，则__________．16．直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知正项等比数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．18．（12分）经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄2832384248525862收缩压（单位）114118122127129135140147其中：，，，；（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（，的值精确到）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为的70岁的老人，属于哪类人群？319．（12分）已知抛物线过点．（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与抛物线交于，两个不同的点（均与点不重合）．设直线，的斜率分别为，，求证：，为定值．20．（12分）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．321．（12分）已知函数，．（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒有成立，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2），，求的取值范围．3理科数学答案一、选择题．1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】A二、填空题．13．【答案】14．【答案】15．【答案】16．【答案】三、解答题．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公比为，由已知，由题意得，∴．解得，．因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）；（3）收缩压为的70岁老人为中度高血压人群．【解析】（1）．（2），．∴．．∴回归直线方程为．（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为，∵．∴收缩压为的70岁老人为中度高血压人群．19．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）由题意得，∴抛物线方程为．（2）设，，直线的方程为，代入抛物线方程得．∴，，，∴，∴，是定值．20．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵，是的中点，∴，∵平面，∴平面平面，∴平面，∴．又∵在正方形中，，分别是，的中点，∴．又，∴平面．（2）取中点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为钝角，，∴，故二面角的余弦值为．21．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）当时，，则．令，得．当时，；当时，．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴当时，函数取得最小值，其值为．（2）由（1）得：恒成立．①当恒成立时，即恒成立时，条件必然满足．设，则，在区间上，，是减函数，在区间上，，是增函数，即最小值为．于是当时，条件满足．②当时，，，即，条件不满足．综上所述，的取值范围为．22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴曲线的直角坐标方程为．∵直线的参数方程为（为参数），∴．∴直线的极坐标方程为．（2）将代入曲线的极坐标方程得，∴点的极坐标为．将代入直线的极坐标方程得，解得．∴点的极坐标为，∴．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，①当时，，令，即，解得，②当时，，显然成立，∴，③当时，，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为．（2）∵，∵，有成立，∴只需，解得，∴的取值范围为．
