辽宁省辽南协作校联考2022-2022学年高二上期末考试文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线2香䁕的准线方程为A.䁕2B.䁕2C.䁕1D.䁕1【答案】D【解析】解：抛物线2香䁕的焦点在x轴上，且1，2抛物线的准线方程是䁕1．故选：D．利用抛物线的标准方程，有2香，1，可求抛物线的准线方程．2本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想.属于基础题．2.已知数列为等差数列，若香1䁓，则A.5B.10C.D.1䁓【答案】A【解析】解：根据题意，等差数列中，有香2，若香1䁓，则；故选：A．根据题意，由等差数列的性质可得香2，代入数据计算可得答案．本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项，属于基础题．3.如果䁓，那么下列不等式中不正确的是111122A.B.C.D.【答案】B【解析】解：䁓，2211，，即为，因此A，C，D正确，而B不正确．故选：B．利用不等式的基本性质即可得出．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．1/12香.已知函数䁕log3䁕，则其导数䁕ln3311A.B.C.D.䁕䁕䁕ln3䁕【答案】C1【解析】解：䁕．䁕ln3故选：C．根据基本初等函数的求导公式求导即可．考查基本初等函数的求导公式．.平面内到点1䁓、2䁓的距离之差等于12的点的集合是A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线【答案】C【解析】解：到两定点1䁓、2䁓的距离之差的绝对值等于12，而1212，满足条件的点的轨迹为两条射线．故选：C．到两定点1䁓、2䁓的距离之差的绝对值等于12，而1212，即可得出满足条件的点的轨迹为两条射线．本题考查了双曲线的定义及其注意特殊情况，考查了推理能力，属于基础题．䁕ln䁕.函数的图象可能是䁕A.B.C.D.【答案】B䁕ln䁕【解析】解：函数的定义域为䁕䁕䁓，䁕䁕ln䁕䁕ln䁕又䁕䁕，䁕䁕原函数为奇函数，由此排除A，C；由当x为正数且趋于0时，ln䁕趋于负无穷，由此排除D．故选：B．判断函数为奇函数排除A，C；当x为正数且趋于0时，ln䁕趋于负无穷排除.则答案可求．本题考查函数的图象及图象变换，考查函数的奇偶性及其应用，训练了利用排除法求解选择题，是基础题．䁕227.“㌱”是“方程1表示焦点在y轴上的双曲线”的㌱A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】B䁕22䁓【解析】解：方程㌱1表示焦点在y轴上的双曲线㌱䁓，䁓䁓㌱推不出，㌱，㌱䁓㌱䁓䁓㌱是的必要而不充分条件，㌱䁓故选：B．䁕22䁓首先方程得出1表示焦点在y轴上的双曲线的等价条件㌱䁓，然后根据充分㌱条件和必要条件的定义可作出判断．本题考查了双曲线方程、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．䁕香.已知变量x，y满足约束条件2䁕2，则䁕2的最小值是1A.0B.6C.1䁓D.12【答案】C【解析】解：从满足条件的平面区域，如图示：，䁕2由䁕香，解得2，1由䁕2得：䁕，223/12结合图象得直线过2时，z的值最小，z的最小值是：1䁓，故选：C．1先画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将䁕2转化为䁕，结合22图象求出z的最小值即可．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题．䁕229.若椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点1、2的连线互相垂直，则1231的面积为A.36B.16C.20D.24【答案】B䁕22【解析】解：椭圆的方程：1，则，香，222．31由椭圆的定义：12212，由勾股定理可知：122222䁓，1232．112的面积121．212的面积为16，故选：B．由题意可知：，香，2.利用椭圆的定义及勾股定理即可求得1232.根据三角形的面积公式，即可求得12的面积．本题考查椭圆的标准方程及定义，考查勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题．2121䁓.两个正实数x、y满足䁕21，且㌱2㌱恒成立，则实数m的取值范䁕围是A.2香B.香2C.2香D.香2【答案】D221【解析】解：由题意可知，㌱2㌱㌱쳌，䁕2121香䁕香䁕由基本不等式可得䁕2香2香，䁕䁕䁕䁕香当且仅当䁕䁓，即当䁕2时，等号成立，䁕䁕所以㌱22㌱，即㌱22㌱䁓，解得香㌱2．故选：D．22121先由题意得出㌱2㌱㌱쳌，然后将代数式和䁕2相乘，展开后利用基䁕䁕21本不等式可求出的最小值8，然后解不等式㌱22㌱即可得出答案．䁕本题考查基本不等式，对代数式进行灵活配凑是解本题的关键，属于中等题．䁕2211.如图，A，F分别是双曲线：1䁓的左顶点、右焦点，过F的直线22l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点.若，则C的离心率是113117A.2B.3C.D.香香【答案】D䁕22【解析】解：，F分别是双曲线：1䁓的左顶点、右焦点，22䁓䁓，过F的直线l与C的一条渐近线垂直，且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点，直线l的方程为：䁕，直线l：䁕与䁕联立：䁕2，解得P点2222䁕将䁕䁓带入直线l：䁕，得䁓，221，，222化简得222，把222代入，得2222䁓同除2得222䁓，/12117117，或舍．香香故选：D．由已知条件求出直线l的方程为：䁕，直线l：䁕与䁕联立，能求出P点坐标，将䁕䁓带入直线l，能求出Q点坐标，由，知，由此入手能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，计算量较大，解题时要仔细解答，要熟练掌握双曲线的性质，是中档题．ln䁕䁕2112.已知函数䁕㌱，2洠，使得对于䁕1，䁕2㌱，且䁕122䁕2，都有䁕1䁕2，则实数b的取值范围是93A.B.3C.D.2香2【答案】A1【解析】解：由题意得：䁕在2洠存在递增区间，21故函数䁕在区间2洠上存在子区间使得不等式䁕䁓成立，22䁕22䁕1䁕，2䁕21设䁕2䁕2䁕1，则2䁓或䁓，21故香1䁓或1䁓，29解得：，香故选：A．求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题：“若䁕21，则1䁕1”的否命题是______命题.填“真”或“假”之一【答案】真【解析】解：“若䁕21，则1䁕1”的否命题为：“若䁕1或䁕1，则䁕21”，显然是真命题．故答案为：真．写出“若䁕21，则1䁕1”的否命题，即可判断其真假．本题考查四种命题的真假关系，关键是真确写出其否命题，再判断，属于基础题．1香.若数列的前n项和221，则______．香1【答案】212【解析】解：当1时，代入可得11香，当2时，122112211洠21，经验证当1时，上式不符合，香1故，212香1故答案为：21211由公式，化简可得结果．12本题考查由数列的前n项和求通项公式，注意分类的思想，属基础题．1.直线l经过点䁓，且与曲线䁕2相切，若直线l的倾斜角为香，则______．1【答案】香【解析】解：设切点为㌱㌱2，䁕2的导数为2䁕，即有切线l的斜率为2㌱tan香1，111解得㌱，可得切点为，22香1䁓1香由11，解得．香21故答案为：．香设切点为㌱㌱2，求出函数的导数，求得切线的斜率，再由直线的斜率公式解方程可得切点，再由两点你的斜率公式，计算即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．1.设a、b、c是正实数满足，则的最小值为______．1【答案】22【解析】解：，b，c是正实数，满足，2，1121111222222211当且仅当时取等号1故答案为：2．2利用放缩法和基本不等式的性质进行求解．7/12本题主要考查基本不等式的应用和放缩法，属于中等题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）3917.在等比数列中，33．221求数列的通项公式；212设log2，且数列为递减数列，求数列的前n项和．39【答案】解：1等比数列的公比设为q，33，222329可得1，111，2231解得1，1，或1，，22311则或；2232若，不满足数列为递减数列，22112则log2log22，212数列的前n项和22．2【解析】1设公比为q，由等比数列的通项公式可得首项和公比的方程组，解方程即可得到所求通项公式；21122数列为递减数列，可得log2log22，再由等差数列的求2和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．㌱1.设函数䁕ln䁕㌱．䁕1当㌱为自然对数的底数时，求䁕的极小值；2若䁕在䁓上为单调增函数，求m的取值范围．【答案】解1当㌱时，䁕ln䁕，其定义域为䁓．䁕1䁕䁕．䁕䁕2䁕2令䁕䁓，得䁕，䁕䁓，则䁓䁕，䁕䁓，则䁕．故当䁕时，䁕取得极小值ln2．2䁕在䁓上为单调增函数．在䁓上䁕䁓恒成立．䁕㌱即对任意的䁕䁓都有2䁓恒成立．䁕对任意的䁕䁓都有䁕㌱䁓恒成立．即㌱䁕，㌱䁓．故m的取值范围㌱䁓．【解析】1对该函数求导，求得极值点从而求得极小值2通过函数的单调性与导数的关系，求得m的取值范围．本题主要考察利用导数研究函数的极值和单调性知识点，重点掌握求导这一数学思想䁕2219.已知椭圆的方程为1，点P的坐标为21，求过点P且与椭圆相切的直线香3方程．䁕22【答案】解：椭圆的方程为1，可得2䁕2，香3点P的坐标为21，过点P且与椭圆相切的直线方程之一是䁕2，另一条切线为：1䁕2．䁕21由：䁕22可得：3香2䁕221䁕121䁓，1香3212香3香2121䁓，解得1．过点P且与椭圆相切的直线方程：䁕1或䁕2．【解析】设出切线方程，联立方程组，通过判别式为0，转化求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．2䁓.已知抛物线C：2香䁕，点㌱䁓在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛线C相交于A、B两点，O为坐标原点．1若㌱1，且直线l的斜率为1，求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；112是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，22恒为定值？若香存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：1当㌱1时，且直线l的斜率为1时，直线l的方程为䁕1，设点䁕11、香䁕22，将直线l的方程代入抛物线C的方程，消去y得，䁕2䁕1䁓，由韦达定理可得䁕1䁕2，䁕1䁕21，由弦长公式可得香112䁕1䁕22䁕1䁕22香䁕1䁕2洠22香1，线段AB的中点的横坐标为3，所以，线段AB的中点到抛物线准线䁕1的距离为4，因此，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；2设直线l的方程为䁕㌱，设点䁕11、香䁕22，将直线l的方程代入抛物线方程并化简得2香香㌱䁓，由韦达定理可得12香，12香㌱，9/122122，同理可得香2122，121111222212㌱22㌱121212所以，2香212212212221222112㌱2212㌱2121212为定值，㌱2111所以，，即㌱2时，22恒为定值．11香香此时，定点M的坐标为2䁓．【解析】1先将直线AB的方程写出来为䁕1，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理与弦长公式计算香的值，并求出线段AB的中点到准线的距离，证明该距离等于香的一半，即可证明结论成立；2设直线AB的方程为䁕㌱，并设点䁕11、香䁕22，列出韦达定理，结合11弦长公式得出22的表达式，根据表达式为定值得出m的值，从而可求出定点M香的坐标．本题考查直线与抛物线的综合，灵活利用韦达定理求解，是解本题的关键，属于中等题．21.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点的椭圆C的上焦点为䁓3，离心率等于3．21求椭圆C的方程；2设过䁓3且不垂直于坐标轴的动直线l交椭圆C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．【答案】解：1由中心在原点的椭圆C的上焦点为䁓3，可知3，3离心率等于，可得2，22221，2故椭圆方程为䁕21，香2存在满足条件的D点.设满足条件的点䁓㌱，则䁓㌱3，设l的方程为：䁕3，䁓，代入椭圆方程，得2223，香䁕23䁕1䁓，设䁕11，香䁕22，则䁕1䁕22香312䁕1䁕2232香以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，233香香，香䁕11㌱䁕22㌱2香2香2㌱，香的方向向量为1，香香䁓，2332㌱䁓，2香2香33即㌱，2香2䁓，3333㌱3，2香香䁓㌱3，存在满足条件的点D．【解析】1根据题意可得3，2，即可求出椭圆方程，2设满足条件的点䁓㌱，则䁓㌱3，设l的方程为：䁕3，䁓，代入椭圆方程，根据韦达定理和向量的运算即可求出．本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．122.已知函数䁕2䁕，直线l：䁕1．䁕21求䁕的单调增区间；2求证：对于任意，直线l都不是线䁕的切线；3试确定曲线䁕与直线l的交点个数，并说明理由．【答案】1解：函数䁕定义域为䁕䁕䁓，22䁕312䁕1䁕2䁕1䁕2，䁕3䁕3䁕3由䁕䁓，解得䁕䁓或䁕1．函数䁕的单调增区间为䁓，1；2证明：假设存在某个，使得直线l与曲线䁕相切，1设切点为䁕䁓2䁕䁓2，䁕䁓2又䁕2，䁕32切线满足斜率2䁕3，且过点A，䁓122䁕䁓223䁕䁓1，䁕䁕䁓䁓3即21，此方程显然无解，䁕䁓假设不成立．故对于任意，直线l都不是曲线䁕的切线；13解：“曲线䁕与直线l的交点个数”等价于“方程2䁕䁕1的根的个䁕2数”．111由方程2䁕䁕1，得2．䁕2䁕3䁕13令，则2，其中，且䁓．䁕考察函数32，其中，321䁓，函数在R单调递增，且．而方程32中，，且䁓．当䁓2时，方程32无根；当2时，方程32有且仅有一根，11/12故当2时，曲线䁕与直线l没有交点，而当2时，曲线䁕与直线l有且仅有一个交点．【解析】1求出函数䁕定义域，求导，令䁕䁓，即可求得函数的单调增区间；12假设存在某个，使得直线l与曲线䁕相切，设切点为䁕䁓2䁕䁓2，䁕䁓3求出切线满足斜率，推出21，此方程显然无解，假设不成立.推出直线l都不是曲䁕䁓线䁕的切线；13“曲线䁕与直线l的交点个数”等价于“方程2䁕䁕1的根的个数”，䁕2133令，则2，其中，且䁓.函数2，其中，䁕求出导数，判断函数的单调性，然后推出曲线䁕与直线l交点个数．本题考查函数的导数的综合应用，考查函数的单调性，函数的零点，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
