第六次月考数学理试题【陕西版】一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.集合，，若，则的值为()A.0B.1C.2D.42.命题“对任意，都有”的否定为()A.对任意，都有B.对任意，都有C.存在，使得D.存在，使3.已知向量，，若与共线，则的值为()A.B.C.D.4.对于函数，下列选项中正确的是()A.在上是递增的B.的图像关于原点对称C.的最小正周期为D.的最大值为25.如图，若时，则输出的数等于()A.B.C.D.6.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）()A.B.C.D.3007.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售9额为()A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元8.已知等比数列的首项为，公比为.则“，”是“为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么任取一个三位数，它是渐升数的概率为()A.B.C.D.10.已知函数，若有且只有一个实数解，则的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设复数，，若为纯虚数，则.12.设、满足约束条件：，则的最大值是.13.已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，且双曲线的右顶点到点的距离为1，则.14.已知，定义，，…，，.经计算，，，…，照此规律，则.15.(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)已知、均为正数，且，则的最大值为.B.(几何证明选做题)如图，是圆的切线，切点为，点、在圆上，，，则圆的面积为.9C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，则.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本题满分12分）如图，在梯形中，，，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的长度.17.（本题满分12分）已知是正项数列，，且点（）在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若列数满足，，求证：.18.（本题满分12分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望．51234567867893419.（本题满分12分）如图，已知菱形中，.沿着对角线将菱形折成三棱锥，且在三棱锥中，，为中点．9（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．20.（本题满分13分）如图，椭圆：的右焦点为，右顶点、上顶点分别为点、，且.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点在椭圆内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.求直线的方程及椭圆的方程.21.（本题满分14分）已知函数，的图像在点处的切线为．（）.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ），，讨论函数的单调性与极值；（Ⅲ）若，且对任意恒成立，求的最大值.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）9题号12345678910答案DCDBDABABC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）题号1112131415（A）15（B）15（C）答案2310三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本题满分12分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，.………………………………………6分（Ⅱ）∵，∴，，在中，由正弦定理，得，∴.…………………………………………12分17.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，即，又，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，故.…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，从而..………………………………………8分因为∴.……………………………………………………………………12分918.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，.………………………………4分（Ⅱ）由题意可知，分数在内的学生有5人，分数在内的学生有2人，共7人.抽取的3名学生中得分在的人数的可能取值为1，2，3，则，，.123所以的分布列为…………………………………………………………………………………………10分所以.………………………………………………12分19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面.………………………………………6分（Ⅱ）以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则，，.，.设平面的法向量，由，令，得；由（Ⅰ）可知平面，因此取平面的法向量.……10分9设平面与平面的夹角为，则.…………………12分20.（本题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，即，，，∴.…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴椭圆：.设，，由，，可得，即，即，从而，进而直线的方程为，即.…………………9分由，即..，.∵，∴，即，，.从而，解得，∴椭圆的方程为.…………………………………………………13分21.（本题满分14分）解：（Ⅰ），.9由已知，.………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则.令，在恒成立，从而在上单调递增，.令，得；，得.∴的增区间为，减区间为.极小值为，无极大值.……8分（Ⅲ）对任意恒成立，对任意恒成立，对任意恒成立.………………………………………10分令，，易知在上单调递增，又，，，，∴存在唯一的，使得，………………………………………12分且当时，，时，.即在单调递减，在上单调递增，，又，即，.∴，∵，∴.对任意恒成立，，又，∴.………………………………………14分99
