高一数学下册期中考试数学试卷满分150分考试时间120分钟命题人：谢遵松考试日期：2022.4一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上.1．下列说法中正确的是A．平面α和平面β可以只有一个公共点B.相交于同一点的三直线一定在同一平面内C.过两条相交直线有且只有一个平面D.没有公共点的两条直线一定是异面直线2.的值是A.B.C.D.3.如图，是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的4.已知△ABC中，三边的比为3：5：7，则△ABC中最大角是A、B、C、D、5.水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC是一个A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形12/12\n6.下列各式中，值为的是A．sin150cos150B．C．D．7.在中,a,b,c分别是A,B,C所对的边,a=4,,C=600,的面积为18，则b=A.B.36C.18D.8．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为A．1：2：3B．3：1：2C．2：1：3D．3：2：19．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为A.米B.米C.200米D.200米10.已知a、b是直线，、、是平面，给出下列命题：①若∥，a，则a∥；②若a、b与所成角相等，则a∥b；③若⊥、⊥，则∥；④若a⊥,a⊥，则∥.其中正确的命题的序号是A．①②；B．①④；C．②③；D．③④11．在ΔABC中，，则ΔABC是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形12．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是12/12\nA．①②；B．①④；C．②③；D．③④二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．。14.函数的最大值是_________。15.如图，一个直三棱柱容器中盛有水，且侧棱，若侧面水平放置时，液体恰好过的中点，当底面水平放置时，液体高为______________。16．如图,空间有两个正方形ABCD和ADEF,M,N分别为BD,AE的中点,则以下结论：NMFEDCBA①MN⊥AD；②MN与BF是异面直线；③MN∥平面ABF；④MN与AB所成的角为60°其中正确的是.(填上所有正确结论对应的序号)三．解答题（本大题共6小题，共74分;解答应写出文字说明与演算步骤）17．(本小题满分12分)在中,a,b,c分别是A,B,C所对的边;（1）求证：acosB+bcosA=c；（2）若cosA=,求的值.18(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB=5,AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；12/12\n（III）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．19.(本小题满分12分)如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80o．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）。BAC北北155o80o125o20.(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;（3）若点E为PC的中点，求直线AE与平面PBC所成的角的正切值。12/12\n21(本小题满分12分)已知α+2β=，α和β为锐角；（1）若ta（α+β）=2+；求β；（2）若tanβ=(2－)cot，满足条件的α和β是否存在？若存在,请求出α和β的值；若不存在,请说明理由.22．（本小题满分14分）如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=1，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC⊥平面ACD.（I）求证：平面ABD⊥平面BCD；（II）求二面角B—AD—C的大小.班级座号姓名密封线内请勿答题厦门六中2022—2022学年下学期高一期中考试数学答题卷满分150分考试时间120分钟命题人：谢遵松考试日期2022.4二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）12/12\n 13．_________；14．______；15．____16．____________三、解答题（本题共6小题，74分） 17．（本小题满分12分）解：18.（本小题满分12分）解：19（本小题满分12分）解：BAC北北155o80o125o12/12\n20（本小题满分12分）解：21.（本小题满分12分）解：12/12\n密封线内请勿答题22.（本小题满分14分）解：12/12\n···厦门六中2022—2022学年下学期高一期中考试·数学试卷答案一、选择题：CDDBA；CDBAB；CA。二．填空题：13.；14.2+；15.6；16.①③17.（1）证明：由正弦定理得：acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（B+A）=2RsinC=c…………6分。注：也可以用余弦定理证明，酌情给分。∵在中,cosA=∴A为锐角，且sinA=…………7分∴…………12分18（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长BC=3，BA=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；…………4分（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；…………8分（III）∵DE//AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，…………9分12/12\n在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴，…………11分∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.…12分19．在△ABC中，∠ABC＝155o－125o＝30o，…………1分∠BCA＝180o－155o＋80o＝105o，…………3分∠BAC＝180o－30o－105o＝45o，…………5分BC＝，………………7分由正弦定理，得………………9分∴AC＝=（浬）………………………………11分答：船与灯塔间的距离为浬．………………………………12分20.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.∴…………4分(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD且平面∴BD⊥PC又∴BD⊥平面PAC∵不论点E在何位置，AE平面PAC∴都有BD⊥AE…………8分（3）连结BE，∵PC⊥平面ABCD，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，∴BA⊥平面PBC∴∠AEB是直线AE与平面PBC所成的角；…………10分直角△ABE中，ta∠AEB=，12/12\n∴直线AE与平面PBC所成的角的正切值为；…………12分21.（1）………5分∵β为锐角；∴β=…………6分（2）由…8分，是一元二次方程的两根，解得……10分.若矛盾，不合；，故存在满足条件……12分22．（I）证明：∵∠B=90°，∴AB⊥BC.∵AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=45°.…………1分又平面四边形ABCD中，∠C=135°，∴∠DCA=90°∴DC⊥AC…………2分∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，DC平面ACD，∴DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD…………4分∵DC∩BC=C，∴AB⊥平面BCD…………5分∵AB平面ABD，∴平面ABD^平面PCD．…………6分（II）解：设AC的中点为O，连结BO，过O作OE⊥AD于E，连结BE.∵AB=BC，O为AC中点.∴BO⊥AC，…………7分∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，BO平面ABC，∴BO⊥平面ACD.…………8分∵OE⊥AD，∴BE⊥AD，∴∠BEO为二面角B—AD—C的平面角.…………10分在Rt△ABC中，BO=AC=∴在Rt△DCA中，AD=，∴OE=.…………11分12/12\n∴在Rt△BOE中，tan∠BEO=∴∠BEO=60°…………13分∴二面角B—AD—C的大小为60°…………14分12/12
