高二理科数学上学期期末模拟试卷（）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分)1（理）是直线和直线互相垂直的（A）A．充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2（理）过点(2,-1)作圆x2+y2=5的切线，其方程是（B）A.x-2y-4=0B.2x-y-5=0C.2x+y-3=0D.2x-y-5=0或x-2y+4=03（理）椭圆的一个焦点是(0,)那么k等于(B)A.2B.1C.D.34空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（C）A．3B．1或2C．1或3D．2或35（理）动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M（2，2）的距离，则点P的轨迹是（A）A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线6（理）设双曲线（a>0，b>0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（B）A.B.C.D.7如图，在正方体中，分别为，的中点，则异面直线与所成的角等于（ B ）A．B．C．D．8若双曲线的焦点在y轴上，则m的取值范围是(C).A．(－2，2)B．(1，2)C．(－2，－1)D．(－1，2)9.抛物线y2=4px（p>0）的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为（.C）A.2B.3C.4D.610（理）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于（B）A．45°B．60°C．90°D．120°6/6\n11定点N（1，0），动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线部分上运动，且AB∥x轴，则△NAB的周长l的取值范围是（）A.（，2）B.（，4）C.（，4）D.（2，4）11B如图所示，分别作出椭圆准线l1：x=4与抛物线的准线l2：x=-1，分别过点A、B作AA1⊥l2于A1，BB1⊥l1于B1，由椭圆的第二定义可得|BN|=e|BB1|=2xB，由抛物线定义可得|AN|=|AA1|=xA+1，∴△NAB的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=xA+1+（xB-xA）+（2xB）=3+xB，又由可得两曲线交点的横坐标为x=，∵xB∈（，2），∴3+xB∈（，4），即△NAB的周长l的取值范围为（，4），故应选B.12点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为()A.B.C.D.12A点P（-3，1）在椭圆的左准线上，故点P（-3，1）关于直线的对称的点为Q，则Q（-3，-5），设椭圆的左焦点为F，则直线FQ为，故∴1，二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影,若点P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC_________心．.13内心14双曲线左支上的点P到左准线的距离是10，那么P到其右焦点的距离是6/6\n1415给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；③两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线。其中正确的命题是____________15①③16给出下列四个命题：①两平行直线和间的距离是；②方程不可能表示圆；③若双曲线的离心率为e，且，则k的取值范围是；④曲线关于原点对称．其中所有正确命题的序号是_____________.16①，④.三、解答题(本大题共6小题，共70分,写出必要的解题过程)17已知圆x2+y2=1，直线y=x+m.（1）m为何值时，直线与圆有两个不同的交点？（2）设直线与圆交于A，B，且直线OA，OB（O为坐标原点）与x轴的正半轴所成的角为α，β，求证：sin（α+β）是与m无关的定值.17解（1）直线的方程代入圆的方程，可得2x2+2mx+m2-1=0，由>1，可得4m2-8（m2-1）>0-<m<.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则sinα=y1，cosα=x1，sinβ=y2，cosβ=x2，又y1=x1+m，y2=x2+m，2x2+2mx+m2-1=0，所以x1+x2=-m，x1·x2=.所以，sin（α+β）=x2y1+x1y2=2x1x2+m（x1+x2）=m2-1+m（-m）=-1（定值）.18在空间四边形PABC中，PA面ABC，ACBC,若A在PB，PC上的射影分别是E,F.求证：EFPB18证明：PA面ABCPABC--1分，又ACBC，PAAC=A,BC面PAC-----4分，AF面PAC,BCAF-------5分，又F是点A在PC上的射影，AFPC--6分，AF面PBC------8分，AE在平面PBC上的射影为EF-----9分，E是A点在PB上的射影--10分，AEPBEFPB----12分19已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一条准线的方程为，焦点到相应准线的距离为.（1）求该椭圆的标准方程；（2）写出该椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点坐标和顶点坐标；（3）求以已知椭圆的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程.6/6\n19解：（1）设椭圆的标准方程是，则……①，……②联立①②解得，，所以，故所求的椭圆方程为.（2）椭圆的长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦点坐标为（-4，0），（4，0），顶点坐标为（-5，0），（5，0），（0，-3），（0，3）.（3）可设双曲线的方程为，由于以已知椭圆的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点，故且，所以.所求双曲线方程是.20已知抛物线的顶点在原点，它的准线经过双曲线的左焦点，且与x轴垂直，抛物线与此双曲线交于点（），求抛物线与双曲线的方程．20解：由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离为2C（即双曲线的焦距）．设抛物线的方程为4分∵抛物线过点①又知②8分由①②可得，10分∴所求抛物线的方程为，双曲线的方程为.12分21在斜三棱柱A1B1C1-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC.(Ⅰ)若D是BC的中点,求证:AD⊥CC1;(Ⅱ)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C;(Ⅲ)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗?请你叙述判断理由.21(Ⅰ)证明:∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C,∴AD⊥侧面BB1C1C.∴AD⊥CC1.(Ⅱ)延长B1A1与BM交于N,连结C1N.∵AM=MA1,∴NA1=A1B1.∵A1B1=A1C1,∴A1C1=A1N=A1B1.∴C1N⊥C1B1.∵截面NB1C1⊥侧面BB1C1C,∴C1N⊥侧面BB1C1C.∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C.∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(Ⅲ)解:结论是肯定的,充分性已由(2)证明,下面证必要性:过M作ME⊥BC1于E,∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C,∴ME⊥侧面BB1C1C.又∵AD⊥侧面BB1C1C,∴ME∥AD.∴M,E,A,D共线.∵AM∥侧面BB1C1C,∴AM∥DE.∵CC1⊥AM,∴DE∥CC1.∵D是BC的中点,∴E是BC1的中点.∴AM=DE=CC1=AA1.∴6/6\nAM=MA1.22（理）已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．(I)证明为常数；(II)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程．[解析]由条件知，设，．(I)当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，此时．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入，有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是．综上所述，为常数．(II)解法一：设,则,,,，由得：即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时,,即．又因为两点在双曲线上,所以，,两式相减得即:．将代入上式，化简得．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．所以点的轨迹方程是．解法二：同解法一得……………………………………①6/6\n当不与轴垂直时，由（I）有．…………………②．………………………………③由①②③得．…………………………………………………④．……………………………………………………………………⑤当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得:．当时，点的坐标为，满足上述方程．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．故点的轨迹方程是．6/6
