高二理科数学下册期末考试数学（理）命题人：王宪生考试时间：2022-7-8一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数，若，则函数在上的最大值是（C）A．B．C．D．0提示：，∴一次函数单调递减，故在时取得最大值，选C．本题考查导数的求法、闭区间上连续函数的性质应用，属基本题2．下列命题中的真命题是（C）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，则D．如果，那么提示：B中，∴，选C．本题由课本练习改编，考查函数极限的概念与运算，属基本题3．一位同学希望在暑假期间给他的4位好友每人发一条短信问候，为省下时间学习，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出．已知他手机草稿箱中只有3条适合的短信，则该同学共有不同的发短信的方法（D）A．种B．种C．种D．种提示：给每一位好友都有3种选择，因此共有发短信的方法种，选D．本题考查分步计数原理，属基本题4．设凸棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为，则（C）A．B．C．D．提示：，，-12-/12\n，∴，选C．本题考查组合的概念和组合数公式及其特殊值方法，属基本题5．已知随机变量的总体密度曲线是函数的的图象，则下列结论正确的是（A）A．B．OBA11C．D．提示：作出函数的图象如图，可得，选A．本题考查总体密度曲线的概念及几何性质的应用，属基本题6．的展开式中不含的项的系数之和为（A）A．B．C．D．1提示：令，则所求的即为的展开式中所有项的系数之和，再令，得所求的系数之和为，选A．本题考查二项式展开式的概念、求二项式系数和的赋值法，属基本题7．某人作的8次射击中有4次命中目标，其中只有两次是连续命中的，则不同的射击结果有（C）A．60种B．40种C．30种D．20种提示：将2次连续命中看成一个元素，与另外两次命中作为3个元素插入4次未命中所形成的5个空档之3中，其中那两次间断命中的情况在排列时被重复计算，故共有种，选C．本题考查排列的概念与排列计算中的捆绑法，属中档题8．若函数在区间上处处连续，则常数的值为（B）A．B．C．0D．1提示：只需考虑在处连续，即在处左极限存在且等于，由-12-/12\n==，∴，选B．本题考查连续函数的概念及函数左极限的求法，属中档题9．设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则（B）A．B．C．D．提示：即，由的分布函数的图象关于对称，故选B．或：令，则，∴，令，故得，选B．本题考查正态分布的概念、性质及计算，属较难题10．数列中，N*，则（A）A．B．C．D．提示：由已知求得，，，猜想并证得，由无穷递缩等比数列各项和公式得所求极限为，所以选A．或：由概念知，而，且，∴是公比为的等比数列，∴选A．本题考查数列递推关系、数列的极限的概念、无穷数列的和及不完全归纳法，属综合题、中档题二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知，若，则的最小正周期w.w.w.k.s.5.u.c.o.m_______________．[答案]-12-/12\n提示：，∴，所求周期．本题考查三角函数的导数，复合函数的导数，属基本题12．某机关老、中、青的人数分别为18、12、6，现从中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样抽取则不用剔除个体，如果容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除一个个体，则样本容量n=__________．[答案]6提示：由题意可知n=6k，且∈Z，∴k=1，∴n=6．本题考查分层抽样和系统抽样的概念及知识的灵活运用，属基本题．13．已知函数的反函数是，则___________．[答案]提示：，∴，∴，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴，∴．本题综合反函数的知识考查二项式定理逆用、基本初等函数的导数的求法，属中档题14．已知，，与随机变量相关的三个概率的值分别是、和，则的最大值为________________．[答案]提示：，∴，又，∴．本题将概率知识与不等式知识相综合，考查概率性质和不等式性质的应用，属综合题、中档题15．对任意正整数定义双阶乘如下：当为偶数时，；当为奇数时，，现有如下四个命题：①；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m②；③设，若的个位数不是0，则112；④设（为正质数，为正整数），则；-12-/12\n则其中正确的命题是_________________（填上所有正确命题的序号）．[答案]①④提示：由定义，∴①为真命题；，∴②为假命题；由条件就是要求从个位数算起到第1个不是0的数字之间的尾数中共有多少个连续的0，也即为中各数的尾数所含0的个数的总和，共有个，而还能产生0（如等）∴③是假命题；，∴④为真命题，∴正确的命题是①④．本题考查数学常识、数学基本功、数学阅读理解能力、观察能力和应用能力，属中档题、易错题三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求随机变量的期望与方差．ξ－101P1－2qq2[解答]依题意，先应按分布列的性质，求出q的数值后，再计算出Eξ与Dξ．由于离散型随机变量的分布列满足：（1）pi≥0，i=1，2，3，…；（2）p1＋p2＋p3＋…=1．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m故解得．…………6分故ξ的分布列为ξ－101P…………9分…………12分本题考查随机变量分布列的性质及应用、数学期望与方差的计算，属基本题-12-/12\n17．（本小题满分12分）设二项式的展开式中第7项的系数与倒数第7项的系数之比是．（Ⅰ）求；（Ⅱ）展开式中有多少项的系数是有理数，指出它们分别是哪几项．[解答]（Ⅰ）第7项即，而倒数第7项即二项式的第7项，也即，依题意有，化简得，∴；…………6分（Ⅱ）展开式的通项为，欲对应项的系数是有理数，则和都为整数，注意到，，∴、3、6、9，即系数为有理数的项分别是第1项、第4项、第7项和第10项．…………12分（它们分别为：，，，，两种结果同样得满分）本题考查二项式定理、二项式系数与系数的概念、二项式定理的通项的应用，属基本题18．（本小题满分12分）已知高二年级的某6名学生，独立回答某类问题时答对的概率都是0.5，而将这6名同学平均分为甲、乙、丙3个小组后，每个小组经过两名同学讨论后再回答同类问题时答对此类问题的概率都是0.7，若各个同学或各个小组回答问题时都是相互独立的．（Ⅰ）这6名同学平均分成3组，共有分法多少种？（Ⅱ）若分组后，3个小组中恰有2组能答对此类问题的概率是多少？（Ⅲ）若要求独立回答，则这6名学生中至多有4人能答对此类问题的概率是多少？[解答]（Ⅰ）所求的方法数是；…………4分（Ⅱ）由独立重复试验知，这3个小组中恰有2组答对此类问题的概率；…………8分（Ⅲ）由对立事件的概率，至多4人答对此类问题的概率为1减去至少5人答对此类问题的概率，即-12-/12\n．…………12分本题考查均匀分组问题、相互独立事件同时发生的概率、对立事件的概率加法公式，属基本题19．（本小题满分13分）随着石油资源的日益紧缺，我国决定建立自己的石油储备基地，已知某石油储备基地原储有石油吨，按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量均为上一年底储油量的25%，且每年年内用出吨，设为正式运营后第年年底的石油储量．（Ⅰ）求、、；（Ⅱ）猜测出的表达式并用数学归纳法予以证明；（Ⅲ）为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于吨，如果吨，该油库能否长期按计划运营？如果能，请加以证明；如果不能，请说明理由．（计算中可供参考的数据：，）[解答]（Ⅰ）依题意，油库原有储油量为a吨，则，，，…；…………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）猜测：对于任意正整数恒有，下用数学归纳法证明：1o当时，，猜测成立；…………4分2o假设当时，成立，…………5分那么，由，得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m-12-/12\n，这就是说当时，猜测也成立，综合1o、2o知，对于猜测都成立；…………8分（Ⅲ）如果吨时，该油库第年年底的储油量不少于吨，，∴≤3，…………10分∴=，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m说明该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营．…………13分本题考查数列知识、数学归纳法的应用、不等式的解法和数学应用能力，属较难题．20．（本小题满分12分）已知，设，．（Ⅰ）求出函数的解析式；（Ⅱ）是否存在使得函数能以为其最小值？若能，求出对应的的取值或取值范围；若不能，试说明理由．[解答]（Ⅰ）∵，∴当时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴，此时，函数图象开口向下，没有最小值；…………3分当时，，函数单调递增，此时也没有最小值；…………5分当且时，∴w.w.w.k.s.5.u.c.o.m，-12-/12\n此时；…………8分（Ⅱ）若即时，函数开口向下，没有最小值，而当即时，函数，当且仅当时有最小值，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m令，则，∴存在恰使函数以为其最小值．…………12分本题考查极限的概念、数列极限的求法、重要极限的应用、二次函数的最值及分类讨论的思想方法，属易错题、难题21．（本小题满分14分）设函数，其图象对应的曲线设为G．（Ⅰ）设、、，为经过点（2，2）的曲线G的切线，求的方程；（Ⅱ）已知曲线G在点A、B处的切线的斜率分别为0、，求证：；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当时，恒成立，求常数的最小值．[解答]（Ⅰ）由题设，∴，由于点（2，2）不在曲线G上，可设切点为，所求切线方程为，由，消去得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴，或，即对应的切点为（0，0），或，当时，，，所求的切线方程为，…………2分当时，，，所求切线方程为；…4分（Ⅱ）由已知，依题意有，，即，从而、、三数中至少有一个正数一个负数，∴总有，，-12-/12\n若，由有，∴，∴，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又，∴，故得，从而，矛盾，∴必有，∴，∴可得；…………8分（Ⅲ）即，整理即得，设，则设为的函数，由条件（Ⅱ），欲不等式恒成立，即在时恒成立，∴，∴，解得，或，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m依题意，∴，即所求的的最小值为．…………14分本题综合考查曲线的概念、一次函数的性质、导数的几何意义、不等式的解法与证明，属难题．-12-/12\n-12-/12\nw.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com-12-/12
