高二理科数学下学期检测卷()姓名班级成绩一、选择题（5×12）1.已知命题：“直线a上的两个点A，B在平面α内。”与它不等价的命题是 A．直线a在平面α内B．平面α通过直线C．直线a上只有两点在平面α内D．直线a上的所有点都在平面α内2.平面平面的一个充分条件是A．存在一条直线∥∥B．存在一条直线C．存在两条平行直线D．存在两条异面直线∥∥3.已知A．90°B．30°C．60°D．150°4.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．B．C．D．6.正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与底面ABCD所成的角的正切等于A．1B．C． D．7.若P是两条异面直线外的任意一点，则A．过点P有且仅有一条直线与都平行B．过点P有且仅有一条直线与都垂直C．过点P有且仅有一条直线与都相交D．过点P有且仅有一条直线与都异面8.平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：①⊥⊥；②⊥⊥；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是A.1B.2C.3D.49.若一个长方体共点的三个表面的对角线长分别为a、b、c，则长方体的对角线长是 αβABA′B′A．B．C．D．10.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶＝A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶311.已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为A.B.C.D.12.在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是A.BC//平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC二.填空题（5×4）13.在三棱锥哦O-ABC中，三条棱两两互相垂直，且OA=OB=OC=2，M是边的中点，则M到平面OBC的距离是________________14.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为.15.边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AC与平面α所成角的大小是，则AB与平面α的距离为。16.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）。①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。6/6\n班级姓名考号………………………………………………………………………………装……………………订……………………线……………………….…………………2022年宣威八中高二数学（理科）检测卷答题卡一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案二、填空题（每小题5分，共20分）13题14题15题16题三、解答题（共6小题，共计70分）17、（10分）在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18、（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(1)求证：PB⊥DM;(2)求CD与平面ADMN所成的角。19、（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面BCD；（2）求点E到平面ACD的距离。20、（12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（2）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小．ABCDEA1B1C121、（12分）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的最大值6/6\n22、（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.（1）试证：CD平面BEF;（2）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.2022年宣威八中高二数学（理科）检测卷参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CDDDDCBDBABC二、填空题（每小题5分，共20分）13题114题15题16题①③④⑤三、解答题（共6小题，共计70分）17、连接，为异面直线与所成的角.连接，在△中，，则.异面直线与所成角的大小为.[解法二]以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则，得.设与的夹角为，则，与的夹角大小为，即异面直线与所成角的大小为.18、方法一：（I）因为是的中点，，所以.因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以.（II）取的中点，连结、，则，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.因为平面，所以是与平面所成的角.在中，.故与平面所成的角是.方法二：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.（I）因为，所以（II）因为，所以，又因为，所以平面因此的余角即是与平面所成的角.6/6\n因为，所以与平面所成的角为.ABCDEA1B1C1OF19、方法一：（I）证明：连结OC在中，由已知可得而即平面（II）设点E到平面ACD的距离为在中，而点E到平面ACD的距离为方法二：（I）同方法一。（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量。又点E到平面ACD的距离20、解法一：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．∵AB＝BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，6/6\n∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．所以二面角A1－AD－C1为60°．解法二：（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．ABCDEA1B1C1Ozxy＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．·＝0，∴ED⊥BB1．又＝(－2a，0，2c)，·＝0，∴ED⊥AC1，所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，C⊥平面A1AD．又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，∴ EC⊥面C1AD． cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．所以二面角A1－AD－C1为60°．21、（1）由题意，，，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（2）由（1）知，平面，是与平面所成的角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．22.解法一：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 第（19）图１（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.设AB=a,则在△PAC中，有BG=PA=ka.以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.因S△CBD=BD·GH=GB·OF.故GH=.在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a 第（19）图２而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH==＝因此tanEHG==由k＞0知是锐角，故要使＞，必须6/6\n＞tan=解之得，k的取值范围为k＞解法二：（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).从而=(2a,0,0),=(0,2a,0), ·=0,故.设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故第（19）３E.从而=.·=0,故.由此得CD面BEF.（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0),=(-a,2a,0),由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a①又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即2x+y=2a②由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.tanEHG===.由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即＞故k的取值范围为k＞.6/6
