哈尔滨市第六中学2022-2022学年度上学期期中考试高三文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知，其中为虚数单位，则（）A.B.1C.2D.33.已知向量若，则（）A．B．C．D．4.已知则等于()A.B.C.D.5.设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是()A.当时，若，则B.当且是在内的射影时，若，则C.当时，若，则D.当且时，若，则6.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是()（单位：m2）．正视图侧视图俯视图A.B.C.D.7．执行右面的程序框图，若输出的结果是，则输入的为()A．B．C．D．-18-\n8.设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于()A.B.C.D.9.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为，从{1,2,3}中随机选取一个数为，则的概率是()A.B.C.D.10.在中，，是边上的一点，，的面积为，则的长为()A.B.C.D.11.定义在上的函数满足，，任意的，都有是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数是定义在上的偶函数,且当时,单调递增，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．随的值而变化二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设变量满足约束条件则的最大值为.14.定长为4的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，则点到轴距离的最小值为.15.直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则-18-\n=________.16．长方体的各个顶点都在体积为的球O的球面上，其中，则四棱锥O-ABCD的体积的最大值为．三、解答题：17.（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）证明数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和．18．(本小题满分12分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为，乙代表队数据的平均数是.（1）求，的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取名成绩不低于分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，⊥平面，，，，，为线段上的点,（1）证明：⊥平面；（2）若是的中点，求与平面所成的角的正切值.-18-\n20．(本小题满分12分)已知椭圆的两个焦点为、，离心率为，直线与椭圆相交于、两点，且满足，,为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：的面积为定值．21．（本小题满分12分）已知函数（）．（1）若，求曲线在点处的切线方程；-18-\n（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，是圆的直径，弦于点，是延长线上一点，切圆于，交于．（1）求证：为等腰三角形；（2）求线段的长．（23）（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆：＝经过伸缩变换后得到曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，-18-\n建立极坐标系，直线的极坐标方程为·（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；（2）在上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离．（24）（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲已知函数.（1）求关于的不等式的解集；（2）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.-18-\n哈六中2022届高三上文科数学期中考试试题答案一、选择：DBBCCABADCCB二、填空：13.414.15.216．217．（本小题满分12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列．（1）证明数列{an}是等比数列；（2）若bn=log2an+3，求数列{}的前n项和Tn．18．(本小题满分12分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.（1）求，的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.18．（1），（2）（3）甲队成绩较为稳定，理由略；-18-\n（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以；因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以；（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲、乙两队各随机抽取一名，种数为，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88。种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为．（3）因为甲的平均数为，所以甲的方差，又乙的方差，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．19．解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，-18-\n∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△CAP，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．．20．（本小题满分10分）已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足为坐标原点．（1）求椭圆的方程;（2）证明：的面积为定值．20．（1）（2）详见解析【解析】试题解析：（1）由椭圆的离心率为，可得，，即又，∴∴c=2，∴，∴椭圆方程为（2）设直线AB的方程为y=kx+m，设，联立-18-\n，可得，①∴，∴，∴，∴，设原点到直线AB的距离为d，则====当直线斜率不存在时，有，∴，即△OAB的面积为定值21．（本小题满分12分）.已知函数（）．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；21．解：（Ⅰ）时，，1分切点为，3分时，曲线在点处的切线方程为.4分（II）（i），，5分①当时，，,在上单调递增，，-18-\n不合题意.7分②当即时，在上恒成立，在上单调递减，有，满足题意.9分③若即时，由，可得，由，可得，在上单调递增，在上单调递减，，不合题意.11分综上所述，实数的取值范围是12分（22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB＝10，CD＝8，3ED＝4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．（I）求证：△EFG为等腰三角形；（II）求线段MG的长．（23）（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆Cl：＝1经过伸缩变换后得到曲线C2．以坐标原-18-\n点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为·（I）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（II）在C2上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．（23）（本小题满分10分）（24）（本小题满分10劲选修4一5：不等式选讲已知函数。（I）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；（II）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围。-18-\n哈六中2022届高三上文科数学期中考试试题答案20221103一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．D1.已知集合，，则(D)A.B.C.D.B2.已知，其中为虚数单位，则(B)A.B.1C.2D.3B3.已知向量若，则（B）A．B．C．D．C4.已知则等于(C)A.B.C.D.C5.设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是(C)A.当时，若，则B.当且是在内的射影时，若，则C.当时，若，则-18-\nD.当且时，若，则A6.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是(A)（单位：m2）．正视图侧视图俯视图A.B.C.D.B7．执行右面的程序框图，若输出的结果是，则输入的为(B)A．B．C．D．A8.设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于(A)A.B.C.D.D9.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为，从{1,2,3}中随机选取一个数为，则的概率是(D)A.B.C.D.C10.在中，，是边上的一点，，的面积为，则的长为(C)A.B.C.D.C11.定义在上的函数满足，，任意的，都有是的(C)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件B12.已知函数是定义在上的偶函数,且当时,单调递增，-18-\n则关于的不等式的解集为（B）A．B．C．D．随的值而变化二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设变量满足约束条件则的最大值为4.14.定长为4的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，则点到轴距离的最小值为.15.直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则___2_____.16．长方体的各个顶点都在体积为的球O的球面上，其中，则四棱锥O-ABCD的体积的最大值为2．17.（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）证明数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和．18．(本小题满分12分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为，乙代表队数据的平均数是.（1）求，的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取名成绩不低于分-18-\n的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=，AD=CD=，PA=，∠ABC=，G为线段PC上的点,（1）证明：BD⊥面PAC;（2）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值;（3）若G满足PC⊥面BGD，求的值．20．(本小题满分12分)已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于A、B两点，且满足为坐标原点．（1）求椭圆的方程;（2）证明：的面积为定值．21．（本小题满分12分）已知函数（）．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；-18-\n请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB＝10，CD＝8，3ED＝4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．（1）求证：△EFG为等腰三角形；（2）求线段MG的长．（23）（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆Cl：＝1经过伸缩变换后得到曲线C2．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为·（1）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）在C2上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．-18-\n（24）（本小题满分10劲选修4一5：不等式选讲已知函数。（1）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；（2）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围。-18-
