2022-2022学年度高二月考数学理科卷满分：150分.时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（ ）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x22．抛物线y=4x2的准线方程是（ ）A．x=1B．x=﹣C．y=﹣1D．y=﹣3．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知命题；命题q：若a＜b，则，则下列为真命题的是（ ）A．p∧qB．p∧￢qC．￢p∧qD．￢p∧￢q5．方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是（ ）A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线6．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线2x﹣y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（ ）A．2B．C．D．7．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（ ）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣18．设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（ ）-8-A．B．﹣C．3D．﹣39．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且两焦点与短轴端点构成的三角形的面积为6，则椭圆C的标准方程是（ ）A．B．C．D．10．已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），则|PA|+|PF|的最小值是（ ）A．B．C．5D．711．椭圆与双曲线的离心率之积为，直线l：x﹣y+3=0与椭圆C1相切，则椭圆C1的方程为（ ）A．=1B．=1C．=1D．=112．F1、F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，|PF1|=6，过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则|OM|的长为（ ）A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）13．与双曲线﹣=1有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2）的双曲线的方标准程是 ．14．已知正三角形△AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x上，则△AOB的边长是 ．15．直角坐标平面上点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+-8-4=0的距离小2，则点P的轨迹方程是 ．16.已知椭圆与双曲线具有相同的焦点F1，F2，且在第一象限交于点P，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，若，则的最小值为 ．三、解答题（17题10分，18-22题12分，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）17．（本小题10分）已知x轴上一定点A（1，0），Q为椭圆+y2=1上的动点，求线段AQ中点M的轨迹方程．18．（本小题12分）设p：实数x满足（x﹣3a）（x﹣a）＜0，q：实数x满足．（Ⅰ）当a=1时，若p∨q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）当a＜0时，若p是￢q的必要条件，求实数a的取值范围．19．（本小题12分）已知方程．（1）若方程表示双曲线，求实数m的取值范围．（2）若方程表示椭圆，且椭圆的离心率为，求实数m的值．20．（本小题12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．21.（本小题12分）已知倾斜角为的直线经过抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线Γ相交于A、B两点，且|AB|=8．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（12，8）的两条直线l1、l2分别交抛物线Γ于点C、D和E、F，线段CD和EF的中点分别为M、N．如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点．-8-22．（本小题12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为B（0，1），且过点P（，）．（I）求椭圆C方程及其离心率；（Ⅱ）斜率为k的直线1与椭圆C交于M，N两个不同的点，当直线OM，ON的斜率之积是不为0的定值时，求此时△MON的面积的最大值． -8-高二月考数学理科腾飞卷答案一、选择题123456789101112CDABDDDBCBCB二、填空题13.14.6 14.y2=8x 16.2三、解答题17.解：设中点M的坐标为（x，y），点Q的坐标为（x0，y0）．利用中点坐标公式，得∴∵Q（x0，y0）在椭圆+y2=1上，将x0=2x﹣1，y0=2y代入上式，得．故所求AQ的中点M的轨迹方程是（x﹣）2+4y2=1．18.解：（1）当a=1时，p：1＜x＜3，q：x＜﹣3或x＞﹣2．∵p∨q为真，∴p，q中至少有一个真命题．∴1＜x＜3或x＜﹣3或x＞﹣2，∴x＜﹣3或x＞﹣2，∴实数x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）．（2）当a＜0时，p：3a＜x＜a，由＞0，得q：x＜﹣3或x＞﹣2，∴￢q：﹣3≤x≤﹣2，∵p是￢q的必要条件，∴{x|﹣3≤x≤﹣2}⊆{x|3a＜x＜a}，-8-∴，解得﹣2＜a＜﹣1，∴实数a的取值范围是（﹣2，﹣1）．19.解：（1）方程表示双曲线，即有（4﹣m）（2+m）＞0，解得﹣2＜m＜4，即m的取值范围是（﹣2，4）；（2）方程表示椭圆，若焦点在x轴上，即有4﹣m＞﹣2﹣m＞0，且a2=4﹣m，b2=﹣2﹣m，c2=a2﹣b2=6，即有e2==，解得m=﹣4；若焦点在y轴上，即有0＜4﹣m＜﹣2﹣m，且b2=4﹣m，a2=﹣2﹣m，c2=a2﹣b2=﹣6，不成立．综上可得m=﹣4．20.解：（1）如图所示，椭圆C：=1的离心率为，∴=，△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=16，∴a=4，∴c=2，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程+=1；（2）设过点P（2，1）作直线l，l与椭圆C的交点为D（x1，y1），E（x2，y2），则，两式相减，得（﹣）+4（﹣）=0，-8-∴（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴直线l的斜率为k==﹣=﹣=﹣，∴此弦所在的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），化为一般方程是x+2y﹣4=0．21.解：（I）由抛物线C：y2=2px经过点P（2，2）知4p=4，解得p=1．则抛物线C的方程为y2=2x．抛物线C的焦点坐标为，准线方程为，（II）由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：x=ty+a，由消去x，得y2﹣2ty﹣2a=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2t，y1y2=﹣2a．因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即，解得y1y2=0（舍）或y1y2=﹣4．所以﹣2a=﹣4．解得a=2．所以直线AB：x=ty+2．所以直线AB过定点（2，0）.===4．当且仅当y1=2，y2=﹣2或y1=﹣2，y2=2时，等号成立．所以△AOB面积的最小值为4．22.解：（I）由题意可得：b=1，+=1，a2=b2+c2，联立解出：b=1，a=2，c=．-8-∴椭圆C方程为：+y2=1．离心率e==．（II）设直线l的方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，化为：4k2+1＞m2．（*）∴x1+x2=﹣，x1x2=，kOM•kON======，当直线OM，ON的斜率之积是不为0的定值时，则1﹣4k2=0，可得：k2=．kOM•kON=．由（*）：m2＜2．|MN|===．d===．S△oMN=|MN•|•d=×=≤=1，当且仅当m2=1时取等号．此时△MON的面积的最大值为1．-8-
