7.5三角形的内角和定理（第2课时）北师大版数学八年级上册,在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？导入新知想一想,1.了解并掌握三角形的外角的定义．2.能利用三角形内角和定理及其两个推论进行简单的计算和证明.素养目标,BDCAO●40°70°？●●●问题发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？探究新知知识点1三角形的外角的概念,利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？思考像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.BDCAO●40°70°？●●●由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.探究新知,定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角.CBAD探究新知,问题1如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？E在三角形每个顶点处都有两个外角.∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；CBAD∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.问题2如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？探究新知,ABC画一画画出△ABC的所有外角，共有几个呢?每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.探究新知,三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.∠ACD是△ABC的一个外角CBAD每一个三角形都有6个外角．探究新知归纳总结,FABCDE如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.巩固练习,三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角三角形内角和定理的推论（一）问题1如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？∠BCD与∠ACB互补.探究新知知识点2,问题2如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗？探究新知,D证明：过C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）.∠2=∠A，（两直线平行，内错角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.探究新知验证结论,三角形内角和定理的推论（一）ABCD(((三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.应用格式：∵∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD=∠A+∠B.探究新知知识要点,说出下列图形中∠1和∠2的度数：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=40°,∠2=140°∠1=18°,∠2=130°探究新知做一做,已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证:AD∥BC.ACDBE例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.探究新知分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C(已知),∵AD平分∠EAC(已知).∴∠DAC=∠C(等量代换).∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).∴∠C=∠EAC(等式的性质).∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义).你还有其他证明方法吗？例,ACDBE探究新知还可以有如下证法：证明:推理可得:∠DAC=∠C(已证),∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理).∴∠BAC+∠B+∠DAC=180°(等量代换).∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).该方法是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.,如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.解：FACDEB巩固练习,例如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．E通过作辅助线求角的度数素养考点探究新知,解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A.∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°=120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.探究新知,如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.证明：延长BO交AC于点D,因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C，所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.巩固练习变式训练D,如图，试比较∠2、∠1的大小；如图，试比较∠3、∠2、∠1的大小.图图解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.探究新知知识点3三角形内角和定理的推论（二）定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.BCEDAACBD,如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B=∠C.求证:∠BPC＞∠A.证明:如图，延长BP，交AC于点D.∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),ABCPD还有其他证明方法吗？探究新知∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角定义),∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).∴∠BPC>∠A.（不等式的性质）例,如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是()A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1B巩固练习,如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（ ）A．65°B．70°C．75°D．85°连接中考B,1.判断下列命题的对错.（1）三角形的一个外角等于两个内角的和.（）（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）（3）三角形的一个外角大于任何一个内角.（）（4）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）课堂检测基础巩固题,2.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）A．40°B．45°C．50°D．55°3.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）A．45°B．60°C．75°D．85°课堂检测基础巩固题CC,4.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（）A．24°B．59°C．60°D．69°课堂检测基础巩固题B,(1)如图，∠BDC是________的外角,也是的外角；(2)若∠B=45°，∠BAE=36°,∠BCE=20°,试求∠AEC的度数.ABCDE△ADE△ADC解：∵∠ADC=∠B+∠BCE,∠AEC=∠ADC+∠BAE.∴∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE=45°+20°+36°=101°.能力提升题课堂检测,ABCDE12FG解：∵∠1是△FBE的外角,∴∠1=∠B+∠E,同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180º,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180º.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.拓广探索题课堂检测,三角形的外角定义角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360°课堂小结,课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
