荆州中学2019级高三上学期期末考试数学卷一、单选题（本题共8小题，40分）1.已知M，N是任意两个非空集合，定义集合M-N={x|x∈M，且x∉N}，则（M∪N）-M=（ ）A.NB.N-MC.M-ND.M∩N2.已知z1，z2为复数．若命题p：z1-z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足2a4=a3+5，则S9=（ ）A.35B.40C.45D.504.某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（ ）A.80种B.120种C.130种D.140种5.已知向量，若，则在上的投影是（）A.B.C.D.6.已知函数f（x）=x2⋅log2|x|，其图象可能是（ ）A.B.C.D.7.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为m（t）（每立方米河水所含的污染物）满足（m0为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（ ）（参考数据：ln10≈2.30）A.1个月B.3个月C.半年D.1年8.苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（ ）（可能用到数值ln2.414=0.881，ln3.414=1.23）A.2.788B.2.881C.2.886D.2.902二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.有多项符合题目要求,全部选对的得5分,-8-\n部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，下列叙述正确的有（ ）A.AH⊥FCB.AC∥BGC.BD与FC所成的角为60°D.AC∥平面BEG10.已知0＜a＜b＜1＜c，则下列不等式一定成立的是（ ）A.ac＜bcB.ca＜cbC.logac＞logbcD.sinc＞sina11.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（ ）A.该地水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：cm）的概率一样大12.已知圆M：，直线l：下列命题中，正确的命题是A.对任意实数k和，直线l和圆M有公共点B.对任意实数，必存在实数k，使得直线l与圆M相切C.对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切D.存在实数k与，使得圆M上有一点到直线l的距离为3三、填空题:每小题5分,共20分.13.已如直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为______．14.若的展开式中x2的系数为224，则正实数a的值为______.15.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，点P是C的右支上的一点（不是顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|=______．16.九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数，在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为______.（用含n的式子表示）-8-\n四、解答题,本题共6小题17.在①，②2bsinA=atanB，③（a-c）sinA+csin（A+B）=bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_______.（1）求角B；（2）若a+c=4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.18.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=（an-1），n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=an•sin，求数列{bn}的前100项的和T100．19.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥PC；（Ⅱ）求二面角P-AB-C的余弦值；-8-\n20.某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令ui=lnxi，vi=lnyi，得到相关数据如表所示：uivivi30.5151546.5（1）从①y=bx+a；②y=m•xk（m＞0，k＞0）；③y=cx2+dx+e三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）参考数据：≈49.787.参考公式：回归方程=t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-.21.如图所示，已知椭圆C：=1与直线l：=1．点P在直线l上，由点P引椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，O是坐标原点．（1）若点P为直线l与y轴的交点，求△PAB的面积S；（2）若OD⊥AB，D为垂足，求证：存在定点Q，使得|DQ|为定值.22.已知函数f（x）=ex-e-x-asinx，其中e是自然对数的底数．（1）当x＞0，f（x）＞0，求a的取值范围；（2）当x＞1时，求证：＞.-8-\n高三数学期末答案BBCDDACBACDABCACACx-6y+6=0或x-6y-6=014.215.416.2n-1（1≤n≤9，n为奇数）17.【答案】解：若选①：（1）因为，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB+sinA，因为A为三角形内角，所以sinA≠0，sinB=cosB+1，可得：2sin（B-）=1，即sin（B-）=，因为B∈（0，π），可得B-∈（-，），可得B-=，所以可得B=．（2）因为b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac=16-3ac，即3ac=16-b2，所以16-b2=3ac≤3（）2=12，解得b≥2，当且仅当a=c=2时，取等号，所以bmin=2，△ABC周长的最小值为6，此时，△ABC的面积S=acsinB=．若选②：（1）因为2bsinA=atanB，所以2bsinA=，由正弦定理可得2sinBsinA=sinA•，因为A,B为三角形内角，所以sinA≠0，sinB≠0，所以cosB=，又B∈（0，π），所以B=．（2）因为b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac=16-3ac，即3ac=16-b2，所以16-b2=3ac≤3（）2=12，解得b≥2，当且仅当a=c=2时，取等号，所以bmin=2，△ABC周长的最小值为6，此时，△ABC的面积S=acsinB=．若选③：（1）因为（a-c）sinA+csin（A+B）=bsinB，所以（a-c）sinA+csinC=bsinB，由正弦定理可得：（a-c）a+c2=b2，整理可得：a2+c2-b2=ac，由余弦定理可得cosB===，因为B∈（0，π），所以B=．（2）因为b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac=16-3ac，即3ac=16-b2，所以16-b2=3ac≤3（）2=12，解得b≥2，当且仅当a=c=2时，取等号，-8-\n所以bmin=2，△ABC周长的最小值为6，此时，△ABC的面积S=acsinB=．18.【答案】解：（1）由Sn=（an-1），得Sn+1=（an+1-1），n∈N+，两式相减得an+1=an+1-an，即an+1=-an，又当n=1时，a1=S1=（a1-1），解得a1=-，所以{an}是以-为首项，-为公比的等比数列，所以an=（-）n；（2）由（1）可知bn=ansin=，n∈N+，所以a1，a3，a5，a7，…，a97，a99是首项为a1，公比为-的等比数列，共有50项，所以T100=a1-a3+a5-a7+…+a97-a99===-+×．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC；（Ⅱ）解：在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH⊂平面PDC，∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D（0，0，0），P（0，﹣1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），∵DH⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），又=（2，1，），=（2，2，），设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），由，取z=2，则m=（），∴cos，由题意可知，二面角P﹣AB﹣C为锐角，-8-\n∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；20.【答案】解：（1）由散点图知，选择回归类型y=m⋅xk更好．（2）对y=m⋅xk两边取对数，得lny=lnm+klnx，即v=lnm+ku，由表中数据得，，所以，所以=e，所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为．（3）由（2），知，令，得，得，所以x＞3.67883≈49.787，故下一年应至少投入498万元广告费用．21.【答案】解：（1）由题意知P（0，3），过点P与圆相切的直线斜率存在，设切线方程为y=kx+3，联立，得（1+2k2）x2+12kx+12=0，由△=（12k）2-4（1+2k2）×12=0，解得k=±1，即切线方程为y=±x+3，此时切点坐标为A（-2，1），B（2，1），△PAB为直角三角形，|PA|=|PB|=2，所以S△PAB=|PA||PB|=4．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA为+=1，切线PB为+=1，设P（x0，y0），则+=1，+=1，所以直线AB的方程为+=1①，又点P（x0，y0）在直线l：+=1上，所以+=1，即=1-，代入①，得+（1-）y=1，即x0（x-y）+6（y-1）=0，所以直线过定点T（1，1），又因为OD⊥AB，所以点D在以OT为直径，Q（，）为圆心的定圆上，所以|DQ|为定值，且|DQ|=．22.【答案】解：（1）由题意可知f'（x）=ex+e-x-acosx，-8-\n①当0＜a≤2时，由-1≤cosx≤1可知-2≤-a≤acosx≤a≤2，又因为ex+e-x≥2恒成立，所以f'（x）=ex+e-x-acosx≥0恒成立，所以y=f（x）在[0，+∞）上恒为增函数．又f（0）=0，所以f（x）＞0对x＞0恒成立；②当a＞2时，，且可知y=ex+e-x与y=acosx必有一个交点，不妨设为x0，所以y=f（x）在[0，x0）上为减函数，在[x0，+∞）为增函数，又f（0）=0，所以f（x0）＜0，与题意不符，故舍去．综合可知a的取值范围是（0，2]．（2），只需证，即证，即证ex-e-x-2sinx＞elnx-e-lnx-2sin（lnx），即证f（x）＞f（lnx）（此时a=2），由（1）问可知当0＜a≤2时y=f（x）在[0，+∞）上恒为增函数．所以即证x＞lnx，不妨令g（x）=x-lnx，则所以y=g（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增．又因为g（x）min=g（1）=1＞0所以g（x）=x-lnx＞0恒成立，即x＞lnx，所以原结论得证．-8-
