遂宁市高中2024届第二学期教学水平监测数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3．考试结束后，将答题卡收回。一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．等于A．B．C．D．2．已知等差数列中，，则A．-10B．-17C．-19D．-213．若，则一定有A．B． C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n4．设一元二次不等式的解集为，则的值为A．－6B．－5C．6D．55．下列函数中最小值为4的是A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．7．在数列中，，则的值为A．B．5C．D．8．在中，D为边BC上的一点，且，则等于A．B．C．D．9．已知数列为等比数列，且，则等于A．B．C．D．10．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为A．11.5尺B．12.5尺C．13.5尺D．14.5尺11．已知的内角的对边分别是，若，则是A．等边三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形12.设等差数列满足：,公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知与的夹角，则向量在向量方向上的投影为▲．14．已知等比数列中，，公比，则▲15．已知圆锥的侧面积(单位：)为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：)是▲．16．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为▲三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知．（1）当时，求的值；（2）若，求实数的值．▲18.（12分）已知等比数列，，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列为正项数列（各项均为正），求数列学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n的前项和．▲19.（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知且，（1）证明：为等腰三角形；（2）设的面积为，若▲，求的值.在①；②两个选项中，选择一个填入上面空白处并求解注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分▲20.（12分）如图，正方体，其外接球与内切球的表面积之和为，过点的平面与正方体的面相交，交线围成一个正三角形．（1）在图中画出这个正三角形(不必说明画法和理由)；（2）平面将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n▲21.（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆O分别交于A，B两点，轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知点B的横坐标是.（1）求的值；（2）求的值．▲22.（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为.（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若表示不超过的最大整数，如，求的值；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n（3）设,，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在求出m的最大值；若不存在，请说明理由.▲学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n遂宁市高中2024第二学期教学水平监测数学试题参考答案及评分意见一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）题号123456789101112答案BBDCDACDABCA二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.)13.14.3215.116.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（10分）解析：（1）当时，…………………………2分故………………………………………………………………4分（2）……………………………………………………………5分……………………………………………………………6分因为，所以………………………………………8分解得：.所以实数的值为…………………………………………………………………10分18．（12分）解：（1）依题意，，从而数列是以2为首项，为公比的等比数列………………………………2分当时，……………………………………………………………3分当时，……………………………………………………………4分（2）由（1），可得，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n则…………………………………………6分……………………………………8分两式相减，得…………………………10分，．………………………………………………………………12分19.（12分）解：（1）因为，所以……………………………………………2分由余弦定理可知，，即，即为等腰三角形………………………5分（2）选①，由（1）可知，，所以………………………………………6分所以，整理得，解得………………………………………8分所以，………………………………………………………………10分所以……………………………………………12分选②，因为，且，，所以……………………………8分所以，所以…………10分所以……………………………………………12分20．（12分）解：（1）连接，则为所求三角形(作法不唯一)，如图所示…4分（2）设正方体的棱长为，则有，故………………6分学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n平面将正方体截成三棱锥和多面体两部分，………7分因此体积较大的几何体是多面体，其体积为…………………8分由得………………………………………………………9分又，………………………………………………11分故多面体的表面积为……………12分21．（12分）解：（1）由题意知，…………………………………………………1分因为，所以………………………………………………………………………2分又为锐角，所以………………………………………………………3分因为点是钝角的终边与单位圆的交点，且点的横坐标是，所以………………………………………………………4分所以……………………………………………6分（2）因为，从而……8分因为为锐角，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n所以，所以……………………………………………………9分又，所以………………………………………………10分所以………………………………………………………………………12分22.（12分）解析：（1）因为，所以当时，………………………………………………………………1分即而，有，所以………………………2分所以数列是以为首项，公差为1的等差数列；，则……………………………………………………3分当时，，又满足上式，所以的通项公式为……………………………………………………4分（2），当时，……………………………………………………………5分故…6分当时，，所以对任意的，都有……………………………………………………………7分所以………………………………………………………………8分（3）由（1）知，，则有……………9分学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n因，则数列单调递增，……………………………………………………………………10分因对任意正整数均有成立，于是得，解得，而则………………………………………………………………11分所以存在正整数m，使得对任意正整数n均有总成立，的最大值为673………………………………………………………………………12分学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
