罗田一中高二数学6月份月考试卷（解析版）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.函数在闭区间上的最大值、最小值分别是A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】本题考点是导数法求函数最值，属于基础题．求导，用导数研究函数在闭区间上的单调性，利用单调性求函数的最值．【解答】解：令，，故函数在上是增函数，在上是减函数，又，，．故最大值、最小值分别为，；故选：． 2.甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为与，且预报准确与否相互独立．那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查对立事件的概率关系，属于中档题．\n求得甲气象台预报不准确的概率为，乙气象台预报不准确的概率为，相乘即得所求．【解答】解：甲气象台预报不准确的概率为，乙气象台预报不准确的概率为，故在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是：，故选：． 1.如果数据、、、的平均值为，方差为，则、、、的平均值和方差分别是A.和B.和C.和D.和【答案】B【解析】【分析】本题考查均值的性质以及方差的性质，属于基础题．根据均值的定义和性质求出新数据的平均值，根据方差的定义和性质求出新数据的方差．【解答】解：因为、、、的平均值为，所以、、、的平均值为，因为、、、的方差为，所以、、、的方差为\n．故选：． 1.对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法中不正确的是A.由样本数据得到的回归方程必过样本中心B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量和之间的相关系数为，则变量和之间具有线性相关关系【答案】C【解析】【分析】本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，关键在于掌握线性回归方程的计算和思想，属基础题．【解答】解：：样本中心点在回归直线上，正确；：残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确，：越大拟合效果越好，不正确，：当的值大于时，表示两个变量具有高度线性相关关系，正确． 2.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为 \nA.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查不等式求解，涉及导数研究函数的单调性，函数的图象的应用，属于基础题．根据函数的单调性和的正负关系即可求解．【解答】解：由图象单调性可得，当 ， ，时，，当 ，时，，等价于 或 的解集为 ，．故选A． 1.音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，当一个发声体振动发声时，发声体是在全\n段振动的，除了频率最低的外，其余各部分如二分之一三分之一也在振动，所以我们听到声音的函数是，则声音函数的最大值是 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及最值，考查了二倍角公式，属于中档题．首先确定函数的周期，接着利用导数研究函数在一个周期内的最大值即可．【解答】解：，最小正周期为，只需求函数在上的最大值．令，即，解得：或或．当时，；当时，；当时，；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．时，；时，．\n．故选：． 1.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的性质来琢磨函数图象的特征，则下图最有可能是下列哪个函数的草图 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数判断函数单调性，属于中档题．【解答】解：由图象知：定义域为，个选项均满足；函数为偶函数，令，则，排除，令，，符合，同理可得、选项符合；又时，函数先减后增，且极小值点位于区间内，\n对于，时，，则，当时，，函数单增；当时，，函数单减，不符合，排除；对于，时，，则，当时，，函数单增；当时，，函数单减，不符合，排除；对于，时，，则，当时，，函数单减，当时，，函数单增，符合． 1.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数零点问题，属中档题．【解答】解：函数的图象如图所示， \n 当直线与曲线相切于点时，， 故当或时，直线与函数的图象恰有一个交点， 当时，直线与函数的图象恰有两个交点， 当直线与曲线相切时，设切点为，则， ，解得，或，，当时，直线与函数的图象恰有一个交点， 当或时，直线与函数的图象恰有两个交点， 当时，直线与函数的图象恰有三个交点， 综上的取值范围是． \n二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）1.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传这四个项目，每人限报其中项，记事件为“四名同学所报项目各不相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则下列结论中正确的有 A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】本题考查条件概率，属基础题．根据已知利用条件概率公式直接求解．【解答】解：由已知有，，所以．故选：． 2.下列命题中，正确的命题是A.已知随机变量服从二项分布，若，则B.若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为C.设随机变量服从正态分布，若，则D.某人在次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大．\n【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强．A.直接利用二项分布的期望与方差关系列出关于，的方程求解即可．B.根据回归直线方程的性质得出选项正确．C.根据正态分布的概率计算进行求解．D.根据二项分布的概率的性质进行求解判断即可．【解答】A.随机变量服从二项分布，若，，可得，，则，故A错；B.由题意得回归直线方程为：，故B正确；C.随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，即，故C正确D.在次射击中，击中目标的次数为，满足∽，对应的概率当时，时，由得，即，，且，\n即时，概率最大，故D正确．故选BCD． 1.下列命题中是真命题有A.若，则是函数的极值点B.函数的切线与函数可以有两个公共点C.函数在处的切线方程为，则当时，D.若函数的导数，且，则不等式的解集是【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查的是导数的综合应用，属于基础题．可结合反例逐个排除判断．【解答】解：选项A，若，不一定是函数的极值点，例如函数，，但不是极值点，故A错误；选项B，函数的切线与函数可以有两个公共点，例如函数，在处的切线为，与函数还有一个公共点为，故B正确；选项C，因为函数在处的切线方程为，所以，又 ，所以C错误；选项D，因为函数的导数，\n则，即，令，则，所以函数在上单调递减，又，由不等式得，得，所以不等式的解集是，故D正确．故选：． 1.设函数，，给定下列命题，其中正确的是A.若方程有两个不同的实数根，则；B.若方程恰好只有一个实数根，则；C.若，总有恒成立，则；D.若函数有两个极值点，则实数．【答案】ACD【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系、恒成立问题以及函数的极值．对于，利用求导判断函数的单调性得到其大致图象，利用与函数图象的交点得到所求；对于，将不等式恒成立，等价转化为恒成立，从而构造函数为增函数，转化为其导数大于等于恒成立，利用分离参数，求得的范围；对于，将函数有两个极值点，转化为其导函数有两个正的零点，\n利用分离参数求得的范围．【解答】解：对于，的定义域为，，令，得到，令，得到，所以在上单调递减，在上单调递增，，且当时，，又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，所以，故A正确；对于，易知不是该方程的根，当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，，又且，令，有，令，有或，所以函数在和单调递减，在上单调递增，是一条渐近线，极小值为．\n由大致图象可知当或时和只有一个交点，故B错；对于， 当时，恒成立，等价于恒成立，即函数在上为增函数，所以恒成立，即在上恒成立，令，则，令得，令得，从而在上单调递增，在上单调递减，则，于是，故C正确；对于，函数有两个极值点，即 有两个不同极值点，等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，由可知：的图象如图所示，结合图象可知，即，则D正确．故选ACD． \n三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.某校高二女生的身高近似服从，若，则 ．【答案】【解析】【分析】本题考查正态分布，属于基础题，根据正态分布的性质求解．【解答】解：由题意得，所以故答案为． 2.已知，满足，则的展开式中的系数为 【答案】【解析】【分析】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于中档题．先利用二项式定理求出的值，再利用通项公式求出需要的系数．【解答】解：，满足，，可解得：．\n， ，的展开式中的系数为．故答案为：． 1.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则D(3Y+1)= .【答案】6【解析】【分析】本题考查方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．由二项分布得P(X≥1)=1-P(X=0)=，从而P=，进而Y～B(3,)，由此先求出D(Y)，从而能求出D(3Y+1)．【解答】解：因为P(X≥1)=,所以P(X=0)=1-=,即P(X=0)=(1-p)2=，则p=,又随机变量Y~B(3,p),所以D(Y)=np(1-p)=3××=,所以D(3Y+1)=9D(Y)=9×=6.\n故答案为6. 1.设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．【答案】【解析】【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法进行转化，结合基本不等式以及求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数的最小值，利用导数法求出函数的最大值，利用最值关系进行求解即可．【解答】解：对任意，，不等式恒成立，等价为恒成立，，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即当时，取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，\n则有 ，得，即，则，故答案为． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）1.在二项式的展开式中．Ⅰ求展开式中含项的系数；Ⅱ如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值．【答案】解：Ⅰ展开式中第项是，令，解得；展开式中含项的系数为；Ⅱ第项的二项式系数为，第项的二项式系数为；，\n，或；解得，或 ．【解析】本题考查二项式定理的应用问题，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．Ⅰ根据展开式中第项的通项公式，求出展开式中含项的系数是多少；Ⅱ由第项的二项式系数与第项的二项式系数相等，列出方程，求出的值．1.从名运动员中选人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？写出计算过程，并用数字作答甲、乙两人必须跑中间两棒；若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．【答案】解：甲、乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的个人中选两人的排列有种，故有种 若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，需要从甲乙两个人中选出一个参加，且从第一棒和第四棒中选一棒，有种，另外个人选人跑剩余棒，有种，故有 种 若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，故有种【解析】本题考查排列组合的综合应用，属于中档题．\n甲、乙两人跑中间两棒，甲乙两人排列，再从余下的个人中选两人排列．从甲乙两个人中选出一个参加，且从第一棒和第四棒中选一棒，另外个人选人跑剩余棒．甲乙两人相邻两人排列，其余人选两人和甲乙组合成三个元素全排列．1.已知函数．当时，求函数的极值；若对，恒成立，求的取值范围．【答案】解：的定义域是，时，，，令，解得：，令，解得：，故在单调递减，在单调递增，故，无极大值；若恒成立，则，令，则，上，，上，，则函数在上单调递增，在上单调递减，\n时，函数取得最大值，．【解析】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，构造函数，属于中档题．代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；若恒成立，分离参数，构造函数求最值，即可求的取值范围．1.甲、乙两人同时参加奥运志愿者的选拔赛，已知在备选的道题中，甲能答对其中的题，乙能答对其中的题，规定每次考试都从备选题中随机抽出题进行测试，至少答对题才能入选．求甲答对试题数的分布列及数学期望；求甲、乙两人至少有一人入选的概率．【答案】【答案】解：依题意，甲答对试题数的可能取值为，，，，则，，， 的分布列为 甲答对试题数的数学期望为\n 设甲、乙两人考试合格的事件分别为、，则， 因为事件、相互独立，甲、乙两人考试均不合格的概率为．甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为 ．另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为【解析】本题考查离散型随机变量的分布列及期望，独立事件概率的求解属于中档题．1.共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车．它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车．某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．设消费者的年龄为，对共享汽车的体验评分为若根据统计数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且年龄的方差为，评分的方差为求与的相关系数，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱当时，认为相关性强，否则认为相关性弱．\n现将名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整并判断是否有的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关．好评差评合计青年中老年合计附：回归直线的斜率相关系数独立性检验中的，其中．临界值表：【答案】解：因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以相关系数，\n因为，所以可以判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性很强．根据题意可得列联表如下：好评差评合计青年中老年合计因为，所以有的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关．【解析】本题考查线性回归方程与独立性检验，属中档题．1.已知函数．讨论函数的单调性；若是的两个零点，求证：．【答案】解：定义域为，，当时，对均成立，在上单调递增，当时，令，解得；令，解得，在上单调递增，在上单调递减．综上所述，时，在上单调递增：\n时，在上单调递增，在上单调递减．是的两个零点，由可知：时，在上单调递增，最多存在一个零点，不合题意；故只考虑的情况，此时在上单调递增，在上单调递减．又是的两个零点，则必有一个在上，一个在上，不妨令，，要证，即证，即证即证，由题意有：要证，即证，即证 ， 法一：即证，又因为且在上单调递减，要证只需证而，即证，\n令 ，，时，，对都成立，在上单调递增，， 从而命题得证．法二：即证，由即证即证，即证，令，，即证，令，，在上单调递增． ， 从而命题得证．【解析】本题考查导数的应用分类讨论利用导数研究函数的单调性；根据函数的零点的条件，借助单调性确定零点所在区间，再将要证明的问题利用换元法，构造法，转换为一元变量问题，利用单调性求解．
