佛山一中2021-2022学年第二学期高二级期中考试试题数学2022年4月本试卷共5页，22小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。第一部分选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1.数列，，，，…的通项公式可能是A.B.C.D.2.函数的导数为A.B.C.D.3.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是\nA.B.C.D.1.在等差数列中，、是方程的两根，则数列的前11项和等于A.B.C.D.2.已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则A.26B.24C.18D.123.设是可导函数，且，则A.2B.C.0D.4.算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类．现有一种算盘，如图一，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1.例如:图二中算盘表示整数51.如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为A.16B.15C.12D.10\n1.对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”.在数列中，若，则数列的“谷值点”有A.2B.7C.2，7D.2，3，7二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）2.对任意数列，下列说法一定正确的是A.若数列是等差数列，则数列是等比数列B.若数列是等差数列，则数列是等差数列C.若数列是等比数列，则数列是等比数列D.若数列是等比数列，则数列是等差数列3.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔.对于连续函数，若存在一个数，使得，则称为该函数的一个不动点（重根只算作1个不动点）.依据不动点理论，下列说法正确的有A.函数有3个不动点B.函数至多有2个不动点C.若定义在R上的奇函数存在有限个不动点，则不动点的个数可能是偶数D.函数有且只有1个不动点4.已知，则以下结论正确的有\nA.，有零点B.，在上单调递增C.时，D.时，的解集为1.将个数排成n行n列的一个数阵，如图所示，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列其中已知，，记这个数的和为下列结论正确的有A.B.C.D.第二部分非选择题（90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）2.的单调递减区间为__________.3.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位的偶数，其中比50000大的有__________个.4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为__________.\n1.函数，若对于，都有，则的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2.（10分）已知等差数列满足：，，其前n项和为求数列的通项公式及；若，求数列的前n项和3.（12分）已知函数在处的切线方程为，（1）求的值；（2）求的极值点，并计算两个极值之和.4.（12分）已知数列为正项数列，且，令.求证：为等比数列；若，求数列的前n项和5.（12分）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域为圆心，AB是半圆的直径进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP游泳至半圆上某点P处，再从点P沿着弧PB\n跑步至点B处，最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为，，，设（单位：弧度）．(1)试将小王本次训练的时间t表示为的函数，并写出的范围；(2)请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．参考公式：弧长，其中r为扇形半径，为扇形圆心角．1.（12分）已知函数，（1）当时，求的最值；（2）若恒成立，求的取值范围.2.（12分）如图，曲线在点处的切线交x轴于点，过作斜率为的直线交曲线于点曲线在点处的切线交x轴于点，过作斜率为的直线\n交曲线于点，…依次重复上述过程得到一系列点：，记点求：求与的关系式：求证：.佛山一中2021-2022学年第二学期高二级期中考试数学答案和解析一、选择题123456789101112CBBBABCCADBDACDBCD二、填空题13.14.15.16.小题解析7.解：令拨动上方算珠为A，拨动下方算珠为B，①三枚拨动全在十位上，有ABB，BBB，共2种，\n②二枚拨动在十位上，一枚拨动在个位上，有，，，，共4种，③一枚拨动在十位上，二枚拨动在个位上，有，，，，共4种，④三枚拨动全在个位上，有ABB，BBB，共2种，综上，一共有种.故选 8.解：因为，所以，，，，，，，，当，，，，此时数列单调递增，即，，，，所以数列的“谷值点”为2，故选 10.解：令，则，所以在R上单调递增，又，所以在R上有且仅有一个零点，即有且仅有一个“不动点”，故选项A错误;因为至多有两个根，所以函数至多有两个“不动点”，故选项B正确;因为是R上的奇函数，则为定义在R上的奇函数，所以是y的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，其个数的和为偶数，所以一定有奇数个“不动点”，故选项C不正确;由易得，当且仅当时取等，故有且只有1个不动点，故选项D正确;故选：11.解：，时，，，，故选项错；\n时，与的图象明显有交点，故选项正确；时，，时递减，时，递增，，故选项正确；时，,，等价于，等价于，又，解得，故选项正确.故选12.解：由，，可知，，所以，解得或舍去，故选；16.【答案】解：函数，则，当时，，所以函数在上单调递减，不妨设，则不等式等价于，即，令，则在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，即，令，，当时，，单调递增，\n当时，，单调递减，所以，所以，故答案为 17.【答案】解：设等差数列的公差为d，则，-------------------------1分解得：，，----------------------------------------------------------------3分，------------------------------------------------------------4分-----------------------------------------------------------------5分，-----------------------------------------------------------6分------------------------------------------------------------------------8分数列的前项和为------------10分18.解：--------------------------------------------------------------1分在处的切线方程为，可得，--------2分又得，---------------------------------------------4分(2)由-------------------------------------------------------5分得，--------------------------------------7分＋0－0＋\n增极大值减极小值增……---------------9分故函数的极大值点为，极小值点为-----------------11分极大值与极小值的和为.-----------------12分19.解：由，得------------------------------------------2分因为，所以-----------------------------------------------------------3分又，所以，因此-----------------------------------------------------------------------------4分又,故数列是公比为2的等比数列.-------------------------------------------5分（2），结合得，-------------------------------------------------------6分即，所以，因此---------------------------------------7分于是，所以---------------------------------------8分两式相减得：--------------------------------------------------------------9分-------------------------------------------------------------------------10分\n故-------------------------------------------------------------------12分20.(1)在中，，----------------------------------------------1分在扇形OPB中，，---------------------------------------------------2分又，小王本次训练的总时间： ---------------------------------------------------3分，．--------------------------------------------------------5分(2)由得，---------------------------------------------------------6分令，得，，----------------------------------------------------------7分列表如下，0极大值------------------------------------------------8分从上表可知，当时，取得极大值，且是最大值，---------------------------------------9分的最大值是 ，------------------------10分，，．\n，小王本次训练时间不能超过40分钟．------------------------------------------------------12分21.解:(1)时，-------------------------------------------2分时，时，---------------------------------------------------------------3分所以，最大值为---------------------------------------------4分，故无最小值.-------------------------------------------------5分（2）------------------------------------------------------6分①时，，矛盾！-----------------------------------------7分②时，，-------------------------------------------8分-----------------------------9分又，所以设,则,------------------------------------------------------10分\n时，时，---------------------------------11分当且仅当时取等.综上，的取值范围是--------------------------------------------------------------12分22.解：在处切线为：，令，得：，------------------------------------------------------------------1分直线的方程：，由--------------------------------------------------------2分在处切线为：，令，得：，---------------------------------------------------------------3分直线的方程：，满足：，-----------------------------------------------------------------4分得：，舍弃，；----------------------------------------------------------------5分由得，-----------------------------------------6分两边取对数得，--------------------------------------------------7分\n，所以数列构成以为首项，公比为的等比数列，------------------------------8分所以，----------------------------------------------------------9分，------------------------------------------------------------11分----------------------------------------------12分
