天津市耀华中学2022届高三数学考前冲刺卷（一）（PDF版带解析）

耀华中学2022届高三数学冲刺卷（一）一、单选题1．已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则（∁UA）∩B＝（）A．{6，8}B．{2，6，8}C．{2，3，6，8}D．{3}2．“x−1”是“xx”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件3．随着社会的进步，科技的发展，越来越多的大学本科生希望通过保研或者考研进入更理想的大学进行研究生阶段的学习.某大学通过对本校准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间的调查，得到如图所示的频率分布直方图，通过该图的信息，我们可以得到被调查学生课余平均学习时间为（）A．7.38小时B．7.28小时C．8.23小时D．8.12小时22ln6ln24．若a=，b=ln2ln3，c=，则a，b，c的大小关系是（）44A．abcB．abcC．cabD．bac5．在三棱锥PABC−中，已知BC=6，AC=22，ACB=30.点O为三棱锥1PABC−外接球的球心，OC与平面ABC所成角的正切值为，则三棱锥PABC−外接2球的表面积为（）25A．10B．C．5D．163\n22xy6．已知F1、F2分别是双曲线Ca:1(b0,22−0)=的左、右焦点，P是双曲线右支上ab3的点且直线PF1的斜率为，FPF12的平分线与x轴交于点M.若FM1PM=，则双曲线4C的离心率e的值为（）20162514A．B．C．D．75937．将函数yx=x−x2sin−+cosR()的图象向右平移单位，所得图象对应的364函数的最小值等于（）A．−3B．−2C．−1D．−528．对于任意实数x，不等式(a−1)x−2(a−1)x−40恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(−,3)B．(−,3C．(−3,1)D．(−3,1x9．已知函数fx()=3且fx(gx)=+hx()()，其中gx()为奇函数，hx()为偶函数．若关于x的方程2agx()+=h(2x)0在(01，上有两个解，则实数a的取值范围是（）41414141A．−−，2B．−−，2C．2，D．2，24242424二、填空题i10．z是复数z的共轭复数，若复数z满足=+1i，则z=______．zn111．在3x−的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则展开式中的x常数项为_______．212．设抛物线yx=2的焦点为F，过F的直线l交抛物线于AB,两点，过AB的中点M3作y轴的垂线与抛物线交于点P，若||PF=，则直线l的方程为___________.213．已知实数x、y满足xy+=14x+y，且x＞1.则(xy++12)()的最小值为_________.\n14．已知正六边形ABCDEF(顶点的字母依次按逆时针顺序确定)的边长为1，点P是→→→△CDE内(含边界)的动点．设APxAByAF=+(x、yR)，则xy+的取值范围是_．15．某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为_____，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为_____．三、解答题16．已知三角形ABC的内角ABC,,所对的边分别为abc,,，5sinaCc3=且C为钝角.(1)求cosA；(2)若a=32，b=5，求三角形ABC的面积.//17．在四棱锥PABCD−中，=DBA，ABCD，PAB和PBD都是边长为2的等2=边三角形，设P在底面ABCD的射影为O.（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BCPB⊥；（3）求二面角APBC−−的余弦值.\n22xy118．椭圆E:+=1(ab0)的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点222abB为椭圆E上异于左、右顶点的动点，OAB面积的最大值为3.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线lxt:=交x轴于点P，其中ta，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值.21n*19．已知数列an的前n项和为San，1=，且Sannn=N+1，．421n+an(1)求a2的值，并证明：数列是一个常数列；21n−4(2)设数列bn满足bn=，记bn的前n项和为Tn，若162−89Sk+1，求正整数SSnn+1k的值．12x3220．已知函数fx(x)x=axa+ln+R()，gx(x)x=+e−.22（1）讨论fx()的单调性；（2）定义：对于函数fx()，若存在x0，使fx(00)=x成立，则称x0为函数fx()的不动点.如果函数Fx()=−fx()gx()存在不动点，求实数a的取值范围.\n冲刺卷一参考答案：1．A【解析】【分析】先由补集概念求∁UA，再运算交集即可.【详解】集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则∁UA＝{6，8}，∴（∁UA）∩B＝{6，8}．故选：A【点睛】本题主要考查补集与交集的运算，属于基础题.2．A【解析】【分析】解不等式xx，结果为x0，可以判断出x−1是x0的充分不必要条件.【详解】xx，则x0，其中xx−10，但x0x−1，故x−1是x0的充分不必要条件.故选：A3．D【解析】【分析】先由频率分布直方图求出学习时间为10-12小时的频率，再利用加权平均数的公式求解即可【详解】由频率分布直方图可知学习时间为10-12小时的频率为12−(0.020.050.150.19+++)=0.18，所以被调查学生课余平均学习时间为答案第1页，共16页\n30.0450.1070.3090.38110.188.12++++=（小时），故选：D4．C【解析】【分析】利用作差法比较a，b的大小，利用对数函数y＝lnx的单调性，可知ln2π＞ln6＞0，然后利用不等式的可乘性，即可得出a，c的大小．【详解】ln62(ln2ln3)+−4ln2ln32ln2ln3−2()解：a﹣b=−ln2ln3==＞0，444∴a＞b而ln2π＞ln6＞0，22ln2ln6∴＞，44即c＞a，因此c＞a＞b，故选：C．5．A【解析】【分析】在ABC中，由余弦定理得AB=2，由勾股定理逆定理得到ABBC⊥，得到ABC外接圆的圆心O1为AC的中点，根据外接球的球心在底面的射影是底面外接圆的外心，利用线面角的正切值求得得OO1的长，进而计算外接球的半径，最后利用球的面积公式计算即可.【详解】在ABC中，由余弦定理得：223222AB=AC+BC−2ACBCcosACB=(22)+(6)−2226=2，2所以AB=2.故ABBC⊥，则ABC外接圆的圆心O1为AC的中点，连接OO1，如图，则OO1⊥平面ABC，则OC与平面ABC所成的角为OCO1.答案第2页，共16页\nOO11OO12由tanOCO===1，得OO=，OC2212122210则球O的半径R=+=(2)，222则三棱锥PABC−外接球的表面积SR==410.【点睛】本题考查几何体的外接球的面积问题，涉及线面所成的角，关键是判定底面为直角三角形，得到底面外接圆的圆心，注意外接球的球心在底面的射影是底面外接圆的外心.本题难度一般.6．A【解析】【分析】根据题意可设PF12mPF==,,(nm0)n，根据PM平分FPF12，FM1PM=，可得PMFFPF，从而可求的MFPM,，再根据FF=MF+MF可得mnc,,三者之间212212123的关系，再根据直线PF1的斜率为，求得cosFPF12，在△PFF12中，由余弦定理得mnc,,4三者之间的关系，再根据mn−=2a，分别求得mn,从而可得出答案.【详解】解：根据题意可设PF12=mPF,=nm,(n0)，因为PM平分FPF12，所以MPF=12MPF，因为FM1=PM，所以PFF12=MPF1=MPF2，则PMF2=2PFF12=FPF12，所以PMF2FPF12，答案第3页，共16页\nMFPFPM22所以==，PFFFPF21212nmn所以MF==,PM，222cc2nmn22由FFMF=+MF=+c=2，得nmn+=c4，①121222cc3334因直线PF1的斜率为，所以tan=PFF12，所以sin,cosPFF=1=212PFF，44551697所以cosFPF12=−=，25252522214在△PFF12中，由余弦定理得：mnmn+−=c4，②2523939由①−②得mmn=，所以mn=，2525又因为mn−=a2，3925所以man==a,，7722因为nmn+=c4，2252539222c20所以aac+=4，所以=，4949a720即双曲线C的离心率e的值为.7故选：A.7．C【解析】【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得gx()答案第4页，共16页\n的解析式，根据正弦函数的值域，得出结论．【详解】解：y＝2sin（−x）﹣cos（+x）＝2sin（−x）﹣sin（−x）=sin（−x）＝﹣sin36333（x−），3将函数y＝﹣sin（x−）的图象向右平移单位，所得图象对应的函数的解析式为y＝347﹣sin（x−−）＝﹣sin（x−），故所得函数的最小值为﹣1.4312故选：C8．D【解析】【分析】分a=1与a1两种情况进行讨论，求解出答案.【详解】当a=1时，不等式为−40恒成立，故满足要求；当a1时，要满足：a−10，解得：−31a，Δ0综上：实数a的取值范围是(−3,1.故选：D9．B【解析】【分析】8xx−t(0,]，由奇偶性求得gxhx(),()，然后用换元法，令t=−33是增函数，x(0,1]，则38转化为一元二次方程在区间(0,]上有两不等实解，由二次方程根的分布知识求解．3【详解】fx()=+gx()hx()①，则f(−x)=g(−x)+h(−x)，即−+gx=()−hx()f(x)②，xx−xx−fx()−f(−x)3−3fx()+f(−x)3+3由①②得gx()==，hx()==，2222答案第5页，共16页\n22xx−xx−33+方程2()agx(2)hx+=0为a(33)−+0=（*），28xx−t(0,]，令t=−33是增函数，x(0,1]，则382(0,]方程（*）变为22att0++=，此方程在上有两不等实解，32Δ=−48a00−a82341记()ttat2=2++，则，解得−−a2，(0)2=02486416()2=0++a393故选：B．1i−10．2【解析】【分析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出z.【详解】ii1ii1i(−)+由=+1i可得：z===，z1i++1i1i−()(2)1i−则z=21i−故答案为：211．135【解析】【分析】利用已知条件求出n的值，再利用二项展开式通项可求得结果.【详解】n1在3x−的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，x令x=1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则22n128=，得n=6．6k31k6−kk1k6−k6−2k3x−展开式的通项为T=C(3x)−=C−(13)x，k+166xx答案第6页，共16页\n3424令60−=k，可得k=4，因此，展开式中的常数项为TC=−=(1)3135.562故答案为：135.【点睛】结论点睛：对于二项展开式的问题，注意一些常见结论的应用：n（1）二项式的系数和为2；（2）令变量为1，二项式的值为各项系数和.12．222xy−=10【解析】【分析】11求出抛物线焦点为F,0，准线为lx:=−，设Axy(11,,2,2Bxy)()，直线AB方程为221ykx=−，由AB方程与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的23PF=，利用两点间的距离公式解出2关系算出P的坐标，根据k=2，进而得到结论.2【详解】211因为抛物线方程为yx=2，所以焦点F,0，准线lx:=−.221设Axy(11,,2,2Bxy)()，直线AB方程为ykx=−，22222k代入抛物线方程消去y，得kxkx−+(+=20)，42k+21所以xx+xx==,.12122k4又过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，1设Pxy(00,)，可得y0y1y2=+()，211因为y1=kx1−,y2=kx2−，222k+22所以y+y=+kx−=(xk−=)kk，12122kk1111得到yx00==,2，所以P2,.kk22kk23111321因为PF=，所以−+=，解之得k=，222222kk2答案第7页，共16页\n221所以k=，直线方程为yx=−，即222xy−=10.222故答案为：2xy22−=10.13．27【解析】【详解】41x−由题意知y=.x−141x−故(xy+x+1)=2(1+2+)()x−1312(xx+−1)()=x−1设xt−=10＞.322(tt++1)()1则(xy+t+1)=2(6=1527++)，tt1当且仅当t=，即t=1，x=2，y=7时，上式等号成立.t从而，(xy++12)()的最小值为27.14．3,4【解析】【分析】→→→→如图，连接AD,设CE与AD交于G,证明APAD[3,4],求出APAD=+xy[3,4]即得解.【详解】解：如图，连接AD,所以AD=⊥2，CEAD,3设CE与AD交于G,所以AG=，2→→设AP与AD的夹角为，所以AGAPcosAD,2所以AGADAPADAD||,→→→→→即APAD[3,4],AP=xAByAF+,→→→→→→11APAD=xABADyAFAD+=+=+x2y2xy[3,4].22答案第8页，共16页\n故答案为：3,449615．．605【解析】求出所有基本事件个数及选出的3名同学来自不同班级的基本事件个数，代入古典概率公式求出结果；又随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，且kk3−CC46PX(k=k==)(0123，，，)，列出随机变量的分布列求出期望.3C10【详解】设“选出的3名同学来自不同的班级”为事件A，123CCC+49377则PA()==3；C6010kk3−CC46由题意随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，且PX(=k)=3(k=0123，，，)，C10所以随机变量X的分布列是：X01231131P62103011316所以随机变量X的期望为EX=++012+3=.6210305496故答案为：(1).(2).．605答案第9页，共16页\n【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，古典概率的计算，随机变量的分布列与期望的计算.416．(1)521(2)2【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，可求得角A的正弦，由同角关系结合条件可得答案.4(2)由（1）cosA=，由余弦定理，求出边c的长，进一步求得面积．5(1)因为5sinaCc3=，由正弦定理得5sinsinACC3sin=3因为sin0C，所以sinA=.524因为角C为钝角，所以角A为锐角，所以cos1sinAA=−=5(2)4由(1)cosA=，由余弦定理ab22c2=bc+−Aa==b2cos325，，，5242得1825=+25−cc，所以cc−+=870，5解得c=7或c=1，cb=1,不合题意舍去，=c711321故ABC的面积为bcAsin57==2252617．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）−.3【解析】【详解】试题分析:（1）根据等边三角形有PAPD=，依题意有PO⊥平面ABCD，故PO⊥AD，由此可知O为AD中点.（2）由PO⊥平面ABCD可得PO⊥BC，而BO⊥AD，即BCBO⊥，故BC⊥平面PBO，故BCPB⊥.（3）以OBODOP,,分别为xyz,,轴建立空间直角坐标系，利用法向量计算二面角的余弦值.试题解析：（1）证明：∵PAB和PBD都是等边三角形，∴PAPB==PD，又∵PO⊥底面ABCD，答案第10页，共16页\n∴OAOBOD==，则点O为ABD的外心，又因为ABD是直角三角形，∴点O为AD中点.（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BCPO⊥，∵在RtABD中，BD=BA，OBAD⊥，∴DBO==ODB，4又ABCD，∴=CBD，4从而=CBO即CB⊥BO，2由BCPO⊥，CBBO⊥得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB.（3）以点O为原点，以OBODOP，，所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，∵AB=2，则O(000，，)，A(0，−20，)，BOO(2，，)，C(2220，，)，D(020，，)，P(002，，)，BA=−(−2，20，)，BP=−(202，，)，BC=(0220，，)，设面PAB的法向量为nxyz=(，，)，则nBA=0，nBP=0，得−−=22xy0，−+=22xz0，取x=1，得y=−1，z=1，故n=−(111，，).答案第11页，共16页\n设面PBC的法向量为mrst=(，，)，则mBC=0，mBP=0，得s=0，−+=22rt0，取r=1，则t=1，故m=(101，，)，mn6于是cosmn，==，mn3由图观察知APBC−−为钝二面角，6所以该二面角的余弦值为−.322xy18．(1)+=143(2)6【解析】【分析】3（1）分析可得ba=，再利用OAB面积的最大值为3可求得a、b的值，即可得出椭2圆的标准方程；（2）设点Bxy(11,)、Cxy(22,)，分析可知直线BC不与x轴重合，设直线BC方程为xmyt=+，将直线BC的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出M、N的纵坐标，由相交弦定理可得出PAPOPMPN∣，将韦达定理代入等式可求得t的值.(1)22c1cb13解：由题意，设椭圆半焦距为c，则=，即=−1=，得ba=.a222aa4211设Bxy(11,)，S△OAB=ay1，由yb1，故SOAB的最大值为ab.223132将ba=代入ab=3，有a=3得a=2，b=3.22422xy所以椭圆的标准方程为+=1.43(2)解：设Cxy(22,)，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，222设直线BC方程为xmyt=+，与椭圆方程联立得：(3m+4)y+6mty+3t−12=0.=36mt22−123(m2+4)(t2−4)0，可得22tm+34，答案第12页，共16页\n26mt3t12−由韦达定理可得yy12+=−2，yy12=2，34m+34m+y1yt1(−2)直线BA的方程为yx=−(2)，令xt=得点M纵坐标yM=.x1−2x1−2yt2(−2)同理可得，点N纵坐标yN=.x−22当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得PAPOPMPN∣，即tt(yy−=2)MN.222yyt12(2)−yyt1212(yyt−−22)()yyMN===22(x1x2−my12−2+−t2)my(22t+−)()()myy12mt1+2−y+y(+t−22)()()2234(tt2−−)()=222223mt462(3mtt42−−−)m++t−()()()232((tt+−2))=2223mt263(4mt2+−+m)+t−()()232(tt2+−)()3==+−(tt22)()42(t4−)3由t2，故tt(t−t=2+2)−2()()，解得：t=6.4【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为(xy11,)、(xy22,)；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为xx12+、xx12（或yy12+、yy12）的形式；（5）代入韦达定理求解.319．(1)a2=，证明见解析4(2)k=4【解析】【分析】答案第13页，共16页\nSn,1=1（1）依题意令n=1，即可求出a2，再根据an=，作差即可得到SSn−,2nn−1aann+1=(n2)，从而得证；21nn2−+121121n+n（2）由（1）可得an+1=，从而得到Sn=，即可得到bn=−8，利用裂项44nn+1相消法求出Tn，即可得到不等式，求出k的大致范围，再一一列举求出k的值；(1)21n*证明：因为a1=4，且Sannn=N+1，．21n+113令n=1，有S12=a1=a=，解得a2=，34422n(n−1)由Sann=+1，有Sannn−1=(2)，21n+21n−2n2(n−1)aann+1两式相减有ananann=−+1(2)，化简整理得21nn2−+1=(n2)，21nn2+−1a1=1，a2=1，所以aann+11又===，143421nn2−+14an所以数列是一个常数列．21n−(2)22221n+nn21n+n解：由（1）可得an+1=4，所以Sann=+1==，21nn2++14444811b====−8n2所以SSnnnnn2(n+1)(++11)，nn+144111118所以Tn=−+818−++−=−，22311nnn++228(kk++11)128()所以有不等式162898−39−+，kk+114+212839k+1故2，故37k，(k+1)3922128(k+1)当k=3时，+=32839+；k+12答案第14页，共16页\n2128(k+1)当k=4时，+=38.139；k+122128(k+1)64当k=5时，+=+1839；k+1232128128(49k+1)当k=6时，+=+39；k+12722128(k+1)当k=7时，++=163239；k+12故满足不等式的k=4．20．(1)见解析；(2)e++1，)【解析】【分析】(1)对函数fx()求导，结合二次函数的性质讨论a的范围，即可判断fx()的单调性；(2)由x2exx−+lnFx()存在不动点，得到Fx(x)=有实数根，即a=有解，构造函数令xx2exx+−lnhx(x)=(0)，通过求导即可判断hx()的单调性，从而得到hx()的取值范x围，即可得到a的范围．【详解】2xax++1(1)fx()的定义域为(0,0+=)，fxx()()，x2对于函数yx=ax++10，22①当=−a40时，即−22a时，xax++10在x0恒成立.2xax++1=fx()0在(0,+)恒成立.xfx()在(0,+)为增函数；②当0，即a−2或a2时，22−−aa−4−+aa−4当a−2时，由fx()0，得x或x，2222−−aa−44−+aa−0，22答案第15页，共16页\n222−−aa−4−−aaa−a−+−44fx()在0,为增函数，,减函数.2222−+aa−4,+为增函数，22xax++1当a2时，由fx()=0在(0,+)恒成立，xfx()在(0,+)为增函数．222−−aa−4−−aaa−a−+−44综上，当a−2时，fx()在0,为增函数，,减函2222−+aa−4数，,+为增函数；当a−2时，fx()在(0,+)为增函数．213222xx（2）Fx(fx)=−gx=(++x)−x−axe+=()x−x+xxln+−ln0axxex()，22x2exx−+lnFx()存在不动点，方程Fx(x)=有实数根，即a=有解，xx2xxexx+−lne(xx−x1x)ln+1+1+−()()(exx++x−1)1(ln+)令hx(x)=(0)，hx()==，x22xx令hx()=0，得x=1，当x(0,1)时，hx(hx)0，()单调递减；当x+(1,)时，hx(hx)0，()单调递增；hx=+(h)e(11)，当ae+1时，Fx()有不动点，a的范围为e++1,).【点睛】导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图像法．答案第16页，共16页