上海市2022届高考数学模拟试卷（二）（PDF版带解析）

2022年普通高等学校招生全国统一考试上海数学模拟试卷2022.6考生注意：1.本场考试时间120分钟，试卷共5页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答需填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共54分，其中1~6题各4分，7~12题各5分）1.已知zz12,C，且z12=+2iz,=−34i（其中i为虚数单位），则zz12−=_________22.已知集合A=xx|−2x−30,B=xx|0，则AB=_________xx−3.设有函数fx()=2+a2是定义在R上的奇函数，则a=_________axby1+=1c121m4.已知方程组的增广矩阵为，若方程组有无穷组解，则m=_________axby+=cm21−222635.已知二项式(x−2)，在其展开式中二项式系数最大的一项前的系数为_________3xy−−506.已知实数xy,满足，若x0，则z=−xy的最大值为_________xy−2+60S27.已知各项均为正数的等比数列an，若a4−=a52a6，则的值为_________a38.受新冠肺炎疫情影响，上海市启动了新一轮防控.以下为上海某高校某天计划餐食及其单价.每个套餐提供3种类型食物，其中至少有一种荤食和一种素食（每个套餐中的食品种类不重复），且总价不能高于10元，则可行的搭配方案种类数量为_________种类荤食①荤食②素食①素食②素食③单价（元）4.005.001.002.503.0022xy9.已知双曲线−=1(,ab0)的焦点到渐近线的距离为2，且直线20xy−=与双曲线没有交22ab点，则a的取值范围是_________10.已知矩形ABCD，P是矩形内一点，AP=5且P到AB的距离为2.若将矩形ABCD绕AD顺时针旋转，则线段AP扫过的区域面积为_________32022上海数学模拟试卷共4页/第1页2022.6\nxa11.设实数a0且a1，已知函数fx()=，则ff(lg5)+=(lg25())_________xaa+11a12.已知向量abci,,i(=1,2)，其中ab==,1，ab=且cii=+ata0（a0=）.设cbi−与−b28a的夹角为，若对于任意tt,0，总有k−coscos，则k的最小值为_________i1212二、选择题（本大题共20分，每小题各5分）13.已知ab，c0，则下列不等式中恒成立的是（）22A.acbcB.acbc2222C.a+cb+cD.acbc14.设AB,为随机事件，P为事件出现的概率.下列阴影部分中能够表示PA(B)的是（）A.B.C.D.215.设等差数列aa1,2,,a10，首项a1=−2.设实系数一元二次方程axkk++xa=0的两根为xx12,.若存在唯一的akk(=1,2,,10)，使得xx12−3，则公差d的取值可能为（）1357A.B.C.D.444416.设fx()是定义在非空集合S上的函数，且对于任意的xS0，总有fx()0S.对以下命题：命题p：任取S，总存在S，使得f()=；命题q：对于任意的xx12,S，若x12−xS，则fx(12)−fx()S.下列说法正确的是（）A.命题pq,均为真命题B.命题p为假命题，q为真命题C.命题p为真命题，q为假命题D.命题pq,均为假命题2022上海数学模拟试卷共4页/第2页HeliosYu保留版权\n三、解答题（本大题共76分）17.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）已知正四棱柱ABCD−ABCD1111，其中AB=3，AA1=23.（1）若点P是棱AA1上的动点，求三棱锥B1−PBC的体积.（2）求点D1到平面ACB1的距离.18.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）1已知函数fx()=cos,x，gx()=+fx，其中0,221（1）若=且直线x=是gx()的一条对称轴，求gx()的递减区间和周期；222（2）若==1,，求函数hx()=−f(xgx)()在0,上的最小值；3219.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标.某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂.这种生物复合剂入水256−−+xx64,04后每1个单位的活性随时间x（单位：小时）变化的函数为u=x+4，已知当a(12−x),4x12x=4时，u的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用.（1）试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到0.1小时）（2）由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量v关于时间x的函数1为vx=,012，记uv为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出uv的最大值.x+1（结果精确到0.1）2022上海数学模拟试卷共4页/第3页2022.6\n20.（本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）2x2已知椭圆:1+y=，FF12,是左、右焦点.设M是直线lx:2=tt()上的一个动点，连结4MF，交椭圆于Ny(0).直线l与x轴的交点为P，且M不与P重合.1N335（1）若M的坐标为,，求四边形PMNF2的面积；281（2）若PN与椭圆相切于N且NFNF=，求tanPNF的值；1224（3）作N关于原点的对称点N'，是否存在直线FN2，使得FN'1上的任一点到FN2的距离为23，若存在，求出直线FN的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由.2721.（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设有数列an，若存在唯一的正整数kk(2)，使得aakk−1，则称an为“k坠点数列”.记an的前n项和为Sn.n2nn+1,2*（1）判断：an=−(2)，bn=n−1,nN是否为“k坠点数列”，并说明理由；2,n2Sn（2）已知an满足a11=1,ann+−a=+a1，且是“5坠点数列”，若lim2=3，求a的值；n→n（3）设数列an共有2022项且a10.已知a1−apq−−1+a1=s，a2+a3++a2022=t.若an为“p坠点数列”且Sn为“q坠点数列”，试用st,表示S2022.2022上海数学模拟试卷共4页/第4页HeliosYu保留版权\n2022年全国普通高等学校招生入学统一考试上海数学模拟答题卡姓名_______________考场号_______座位号________准考证号1.答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号，无误后将本人姓名、考生号、考场号和座位号填在相应位置，同时条形码粘贴区（居中）注将背面的座位号填涂在指定的位置。2.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写；选择题填涂时，必意须用2B铅笔按图示规范填涂。事3.必须在题目所指示的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。项4.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液和修正带。一、填空题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.二.选择题13abcd14abcd15abcd16abcd三.解答题17请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效\n准考证号：姓名：1819请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效\n准考证号：姓名：20请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效\n准考证号：姓名：21请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效\n\n2022年普通高等学校招生全国统一考试上海数学模拟试卷（二）2022.6参考答案及评分细则教师注意：1.本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该试题的评阅.当考生的解答在某一步出现了错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的评分.这时原则上不应超过后面部分应给分数之半.如果有较严重的概念性错误，就不给分.一、填空题（本大题共54分，其中1~6题各4分，7~12题各5分）1.−+15i；2.(0,3)；3.−1；4.−2；5.−160；6.5；7.6；8.6；59.1,+);10.；6911.1；12.；81.【】z−z=+−+2i34i=−+15i；122.【】A=−(1,3,)B=(0,+)AB=(0,3)；3.【】f(0)=+01a=0a=−1；2m1m2124.【】D==−4m=0m=2，而Dxy==+2mD,==−−2mm2−−12m1要使DDxy==0，则m=−2；n35.【】二项式系数C,0n6,nN，共有7项，则最大项为C.663333所对应的展开式中的项为Cx()−(2)，系数为−160；62022上海数学模拟评分细则共9页/第1页HeliosYu保留版权\n6.【】作出可行域如图所示，通过直线的平移，得到z=−−0(5)=5；max86421055101520246345217.【】可知aq−aq=2aq2q+−==q10q，1112Sa+aq1+q211则===6；22aaqq318.【】首先假设两荤一素的情形，则只可能选择荤食①+荤食②+素食①的组合.接着假设一荤两素的情形，2若选择荤食①，此时由于任选两种素食的价格均不超过6.00元，共C种；3若选择荤食②，则只可能选择素食①+素食②或素食①+素食③两种.2总计1+C+=26种.39.【】由题意，yx=2的斜率大于或等于双曲线的渐近线的斜率.b过双曲线的右焦点F作FA垂直于yx=，如图所示.aAOFbFA则FA=2，而tanAOF==2a1.aOA本题亦可用解析法设直线方程解出答案.110.【】线段AP扫过的区域面积即为以1为半径，母线长为5的圆锥的侧面积的，6115即S=S=rl=；侧66611.【】f(lg5)+f(lg25())=f(lg5)+f(1lg5−)，x11−−xxxaaaa++aaa+a而fx()+f(11−x)=+==，xx1−xx1−a++aaa(a++a)(aa)则ff(lg5)+=(lg25())1；亦可使用特殊值法，令a=10，直接计算出结果.2022上海数学模拟评分细则共9页/第2页HeliosYu保留版权\n12.【】不妨设aOA=，bOB=，则向量问题可转化为如下解三角形问题：OAB1由ab=OAOBcosAOBcosAOB=，为锐角，422同时由余弦定理，AB=OA+OB−2OAOBcosAOB=1而c=+atat(0)实际上表示的是OA的延长线OA'.ii0i故c−=bOA'−OB=BA'，而−=bBO，则cb−与−b的夹角=A'BO.iiOBAA’可知，随着OA'的增大，A'BO也在增大，则cos在减小，由题意，只需求cos所趋近的最大值和最小值即可.222BO+−BAOA7第一种极限情况，当A'与A重合时，cos=cosABO==28BOBA第二种极限情况，当A'位于OA的延长线无穷远处时，BA'可看作与OA'平行，根据1两条平行直线同旁内角互补的性质，cos=cos(−AOB)=−cosAOB=−47199由于k−coscos恒成立，则k+=，则k的最小值为.128488二、选择题（本大题共20分，每小题各5分）13.D；14.C；15.B；16.B；15.【】已知方程为一元二次方程，则a0.k2首先计算方程的根的判别式=−14a，并进行分类讨论.k222114−ak第一种情况，若=−14ak0，即ak，则xx12−=3，4ak112解得a.k742022上海数学模拟评分细则共9页/第3页HeliosYu保留版权\n222141ak−第二种情况，若=−14ak0，即ak，则xx12−=3，4ak1221解得ak1，故综合上述两种情况，ak,1才能满足不等式成立.4722222而a=−+2(k−1)da=dk−(4d+2d)k+d+4d+4.kk122若d=，则aa,均符合要求；67432若d=，则仅有a符合要求；34522若d=，则aa,均符合要求；2347若d=，则没有符合要求的项；416.【】命题p显然是错的，下分析命题q为真命题.关注到xx,的任意性，不妨设xx=，则0,fS(0)，这是很重要的一点.1212若f(00)=，易知S=0，若f(00)，则可验证S为无限集.上述为分析过程，下利用反证法进行证明.不妨假设fx()−fx()S，而由于xx,S，由定义，fx(),fx()S，121212则fx()−fx()S，与假设矛盾.122022上海数学模拟评分细则共9页/第4页HeliosYu保留版权\n三、解答题（本大题共76分）17.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）（1）实际上需求三棱锥PBBC−的体积.1由正四棱柱，BB=AA=23,BC=AB=3,AB=AB=3……（1分）11111三角形BBC的面积为S=BCBB=323=33……（3分）1BBC1122因为P是棱AA1上的动点且AA1与平面BCCB11平行，则只需写出AA1与平面BCCB11间的距离即可.由于AB⊥平面BCCB，不妨记三棱锥的高为AB……（4分）111111则三棱锥PBBC−1的体积VPBBC−11=SBBCAB1=33333=……（6分）33z（2）以D为原点，如图建立空间直角坐标系.……（7分）则A(3,0,0,)B(3,3,23,)C(0,3,0,)D(0,0,23)……（8分）11可知DB=(3,3,0,)CA=(3,3,0,−)CB=(3,0,23)……（9分）111设平面ACB的法向量为n=(xyz,,)1yx=ynCA=03xy−=30则3……（11分）nCB=03xz+=230zx=−12x不妨设n=−(2,2,3)，同时设点D到平面ACB的距离为d11nDB111212则d===11……（13分）n111112故点D到平面ACB的距离为11……（14分）111118.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）1111（1）可知gx()=+cosx，同时令xk+=，代入x=得22222313=−+2,kkZ，故=−+2=，则gx()=+cosx……（3分）222242则周期T==4，……（4分）13再令x+2k,+2k，243即x−+4k,+4k,kZ为gx()的递减区间.……（6分）22（2）可知gx()=+cosx……（7分）3hx()=cos(−x)cosx+=coscosxx+……（8分）3313123=cosxcosx−sinx=cosx−sincosxx……（9分）22222022上海数学模拟评分细则共9页/第5页HeliosYu保留版权\n11cos2+x3=−sin2x……（10分）22411=−sin2x−+……（11分）2645由于2,x−−，则在2xx−==取最小值……（12分）666623111最小值为h=−+=−……（14分）324419.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）7（1）由于f(4)=28，则a=……（1分）22562当04x时，fx()=−−+x643.5x−56.5x+140……（2分）x+4解得0.25x4.……（3分）7当4x12时，fx()=(12−x)3.54x11……（4分）2即产生有效作用的时间段为0.25x11，故产生有效作用的时间t=110.2510.7510.8−=小时.……（6分）（答句不写倒扣1分）（2）当04x时，令tx=+1，则t1,5)125665t−61同时uv=−−+t65=−1……（7分）tt++33tt()再令mt=−6561，则m4,264)2m65则uv=−=11−……（8分）mm++1115616+3m++3176565m1561615616由基本不等式，mm++3172+317=215616+317mm当且仅当m=156164,264)时等号成立……（9分）265则uv在0,4)上的最大值为uv==6.456.5……（11分）215616+317712−x713当4x12时，uv==−12xx++121则此时uv在4,12是单调递减的……（12分）28则最大值在x=4时取到，uv==5.6……（13分）5故uv在0,12上的最大值为6.5.……（14分）20.（本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）3（1）可知：l:3y=+(x)……（1分）MF1122与椭圆方程联立可得：13xx+23−450=，解得x=3（负值舍去）2022上海数学模拟评分细则共9页/第6页HeliosYu保留版权\n（这是由于在M的牵制下，只可能x−3）N1即N3,……（2分）21131535253故S=23=且S==……（3分）NFF12PFM1222228329则S=S−S=3……（4分）PMNF2PFM1NFF1232（2）由于直线PN的斜率必存在，则设lPN:y=−kxt()2222与椭圆方程联立可得：(14+k)x−8ktx+4kt−=4022221由相切，=1614(+k−kt)=0，则k=……（5分）2t−428kt214同时有韦达定理x+x=2x=，代入k=得x=……（6分）12N22N14+kt−4t222xNt−4故y=−1=N24t222122−t14而NFNF=x+y−=3=，解得t=32……（7分）12NN2t431则N3,……（8分）2PF232故在直角三角形PNF中，tanPNF==……（10分）22NF32（3）由于N与N'，F与F是两组关于原点的对称点，由对称性知12四边形FNFN'是平行四边形，则NF与N'F是平行的，1221故FN'1上的任一点到FN2的距离均为两条平行线间的距离d.……（11分）易验证，当x0=3时，NF2与N'F1之间的距离为23，不合要求……（12分）y0设Nxy(00,)，其中x0−(3,2)，则lxNF2=−(3)x−3023ky0发现当x03时，dd==2oNF−22，其中k=……（13分）1+kx0−323k2312则d===，整理得k=……（14分）1+k27482y2x20220代入k=得：48yx00=−(3)，代入y0=−1得13xx00−23−450=x−3401531531由于x0−(3,2)，所以x0=，N,……（15分）1313263则lFN的直线方程为yx=−(3)……（16分）212注意：本题中容易出现多解，原则上在产生多解的情况下第（1）小题得分最高2分，第（3）小题得分最高4分.2022上海数学模拟评分细则共9页/第7页HeliosYu保留版权\n21.（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）n（1）对于a=−(2)，由于a=−2,a=4,a=−8,a=16,a=−32，n12345则存在a2a3,a4a5，不满足定义，故an不是坠点数列.……（2分）2nn+1,2对于b=，容易发现b=3,b=5,b=4,b=8，nn−112342,n2即在前4项中只有bb.而对于n3起，23nn−−11n由于bbnn+1−=2−2=20，即bbnn+1对于n4是恒成立的.故bn是“3坠点数列”……（4分）（2）由绝对值定义，aa+−101.又因为an是“5坠点数列”，则an中只存在aa45且a−1.则当且仅当n=4时，ann+1−a=−(a+1)，其余均为ann+1−a=+a1……（6分）故可分类列举：当n4时，a=1,a=+a2,a=2a+3,a=3a+4，1234当n5时，a=2a+3,a=3a+4,，42分组求和知：nn(−1)aa+−112当n4时，Sn=+n(a+1)=n−n，则Sa4=+610……（7分）222(nn−−45)()当n5时，Sn=S4+(n−42)(a+3)+(a+1)2aa++1253=n−n+88a+……（9分）22（若考生没有给出n5时完整的S或表达式有误，则不给分）naa++1253n−n+88a+Sn22则当n→时，lim=lim……（10分）22nn→nn→a+1==32则a=5……（12分）注意：考生在解答过程中可不必给出n4时S的通项公式，只需给出S即可，这是由于n4数列极限的定义可忽略前有限项对极限的影响，但n5时的S的通项公式必须给出，这n是由于教材中并没有体现只通过对应的系数求此类极限的方法，这是对计算力和严谨性的考察，也是对于过分依赖技巧的规避.（3）结论：S=+st……（13分）2022经过分析研究发现：pq=……（14分）下利用反证法予以证明.不妨设pq，首先研究Sn.由于Sn为“q坠点数列”，则只存在SSqq−1，即aq0……（15分）而对于1k2022且kq，则有SS，即a0kk−1k故在an中有且仅有一项aq0，其余项均大于0……（16分）2022上海数学模拟评分细则共9页/第8页HeliosYu保留版权\n又因为an为“p坠点数列”，则有且仅有aapp−1同时，0aaa，0aaaaa，12p−1pp++1qq12022这与a0是矛盾的，则p=qa=a且a0……（17分）qpq−−11p则as=，……（18分）1故S=+st.20222022上海数学模拟评分细则共9页/第9页HeliosYu保留版权