2021学年高三上学期8月省实、广雅、执信、六中四校联考试卷数学

2021学年高三上学期8月省实、广雅、执信、六中四校联考试卷数学命题学校：广东广雅中学本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合Axx22，B2,3,4，则AB（）A.2B.2,3C.3,4D.2,3,4z2.已知z34i，则（）z33333A.1iB.1iC.1iD.1i44443.函数f(x)sinxcosx具有性质（）36A.最大值为2，图象关于,0对称B.最大值为2，图象关于,0对称66C.最大值为2，图象关于直线x对称D.最大值为2，图象关于直线x对称6624.一个圆柱的侧面展开图是一个面积为4的正方形，则这个圆柱的体积为（）22A.B.2C.D.2135.已知sin，则cos2（）545771515A.B.C.D.888822xy6.已知函数ylog(x1)1（a0，且a1）的图象恒过定点A，若点A在椭圆1上，则mnamn的最小值为（）A.12B.10C.9D.87.2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是（）4825A.B.C.D.927392222xy8.已知点Q在圆E：(x3)(y4)4上，椭圆C：1ab0的右焦点为F，点P在椭22ab圆C上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若PQPF的最小值为256，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，过点F作圆E的切线，则切线斜率为（）4715A.2B.C.D.332二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图是2021年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m、n均为数字0~9中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，则有（）A.甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数B.甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数C.甲选手得分的众数与m的值无关D.甲选手得分的方差与n的值无关10.已知向量a1,sin，bcos,2，则下列命题正确的是（）2A.存在，使得a//bB.当tan时，a与b垂直237C.对任意，都有abD.当ab3时，a在b方向上的投影为711.如图，点M是正方体ABCDABCD中的侧面ADDA内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确111111的是（）A.满足BMAD的点M的轨迹是一条线段1B.在线段AD上存在点M，使异面直线BM与CD所成的角是30111C.若正方体的棱长为1，三棱锥BCMD的体积最大值为13D.点M存在无数个位置满足到直线AD和直线CD的距离相等11xe1,xm12.已知函数f(x)(mR)，则（）2(x2),xmA.对任意的mR，函数f(x)都有零点.B.当m3时，对xx，都有xxfxfx0成立.121212C.当m0时，方程ff(x)0有4个不同的实数根.D.当m0时，方程f(x)fx0有2个不同的实数根.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.2x213.已知双曲线C：y1(m0)的一条渐近线为3xmy0，则双曲线C的实轴长为__________.mn114.已知二项式2xx的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为___________.3x1cosx15.函数f(x)的图象在点,1处的切线与直线xay10垂直，则非零实数a的值为sinx2__________.01k1k16.设正整数na2a2a2a2，其中a0,1，i0,1,2,,k，记01k1ki01910na0a1ak.若ma02a12a922且m3，则这样的正整数m有__________个，所有的这样的正整数m的和为_____________.（用数字作答）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列a是递增数列，满足a32，aa80.n435（1）求a的通项公式；n11（2）设bloga，若b为数列c的前n项积，证明1.n2nnnbcnn18.党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p0p1.现有6例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.1（1）若p，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；33（2）若t1p，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求t的取值范围.319.如图所示，在四边形ABCD中，D2B，且AD1，CD3，cosB.3（1）若BC6，求AB的长；（2）求四边形ABCD面积的最大值.20.在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AD//BC，BCCD，PAAD2，BC3CD3，点M，N在线段BC上，满足BM2MN1，ANMDE.（1）求证：PNMD；（2）若Q为线段PB上的一点，且PD//平面AQM，求平面QAM与平面PAN所成锐二面角的余弦值.221.已知抛物线C：y2pxp0的焦点为F，Mn,2为抛物线C上的一点，且MF2.（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点P在抛物线C上，记直线PA的斜率为k，直线PB的1斜率为k，试判断是否存在点P，使得kk2？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由.2121222.已知函数f(x)x2axlnx.2（1）若函数f(x)为增函数，求实数a的取值范围；13（2）设g(x)xf(x)x2x有两个不同零点x，x.1221（i）证明：xx；12a6（ii）若x3x0，证明：xx.21122e2021学年高三上学期8月省实、广雅、执信、六中四校联考答案数学一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.其中第1题~第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）题号123456789101112答案BDCDACABABDBDACDAC二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13.2314.6515.-116.45，55287三、解答题（本大题6小题，共70分）3217.（1）可设等比数列a的公比为qq1，∵a32，∴aa32q80.n435q1解得：q2或q（舍去）.2n4n1所以aa22.n4（2）∵blogan1，∴cb2，n2n11当n2时，cccn1①，cccn②，12n12n1n1①/②得c(n2)，nn2n1当n1时，c2也成立，∴c，1n1n111n∴1.bcn1n1nn118.（1）用X表示6例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量X~B6,，3602665由题意可知：P(x1)1P(x0)1C.63729665答：6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为.729（2）方案二：混合一起检验，记检验次数为，则1,7.22∴P(1)t，P(7)1t，222∴E()t71t76t.方案三：每组的三个样本混合在一起化验，记检验次数为，则2,5,8.22∴P(2)t，P(5)2t(1t)，P(8)(1t)，22∴E()2t10t(1t)8(1t)86t，223333∵E()E()，∴86t76t，∴6t6t11，∴t，663333∴t的取值范围t.66319.（1）∵D2B，cosB，3221∴cosDcos2B2cosB11，331∵在△ACD中，AD1，CD3，cosD，32221∴由余弦定理可得ACADCD2ADCDcosD192312，AC23，33在△ABC中，BC6，AC23，cosB，32222ABBCAC3AB612∴由余弦定理可得cosB，即，2ABBC32AB62化简得AB22AB60，解得AB32.故AB的长为32.（2）设四边形ABCD面积为S，则SSS，△BAC△DAC112∵SDADCsinDDADC1cosD2，△DAC2216所以SS2BABCsinB2BABC2，△BAC263在△ABC中，AC23，cosB，∴由余弦定理可得：3222ABBCAC2ABBCcosB，2223即ABBC12ABBC2ABBC12，312∴ABBC933，232363632当且仅当∴ABBC933时，S(933)，△BACmax6236323652所以S2.max2220.（1）证明：∵PA平面ABCD，MD平面ABCD，∴MDPA，∵AD//BC，BCCD，AD2，BC3，BM1，MC2AD，∴四边形ADCM为矩形.AMMN1∵，∴NAMMDADMC，∴DMCANM90，∴DMAN，ADAM2∵PAANA，PA,AN平面PAN，∴MD平面PAN，∵PN平面PAN，∴PNMD.（第一问直接用向量法，也相应给分）（2）连接BD交AM于点E，连接QE.BEME1∵△BME△DAE，∴，EDEA2∵PD//平面AQM，PD平面PBD，平面AQM平面PBDQE，BQBM1∴QE//PD，∴，BPBN3如图建立空间直角坐标系，则1222A0,0,0，M1,0,0，P0,0,2，N1,,0，B1,1,0，Q,,，D0,2,0，2333由（1）知MD平面PAN，则MD1,2,0为平面PAN的一个法向量.222∵AM1,0,0，AQ,,，333设平面QAM的一个法向量为mx,y,z，x0mAM0则222，取m0,1,1，mAQ0xyz0333mMD02010设平面QAM与平面PAN所成锐二面角为，∴cos，mMD25510∴平面QAM与平面PAN所成锐二面角的余弦值为.5221.（1）根据题意抛物线C的方程为y2pxp0，p则MFn2，2pn4，解得p2，n1，22所以抛物线C的标准方程为y4x.（2）由题意知，F1,0，直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为xty1，2y4x2联立方程得，消去x并化简得y4ty40，xty1设Ax,y，Bx,y，Px,y，则yy4t，yy4.11220012122y4x11因为A，P两点在抛物线C上，所以，2y4x00yy4401所以k，同理可得k，则12xxyyyy010102444y1y22y04y1y22y044t2y0kk2，1222y1y0y2y0y1y0y2y0y1y2y0y1y2y044ty0y022所以8t4y44tyy，即y(4t4)y8t40*，0000022因为(4t4)4(8t4)16t20，所以方程*有两个不同的解，故满足kk2的点P的个数为2.12122.（1）∵f(x)的定义域为0,，f'(x)x2a.x∵函数f(x)是0,上的增函数，11∴f'(x)x2a2x2a22a0，∴a1.xx∴实数a的取值范围是a1.（2）（i）∵g(x)x(lnx22ax)0，∴lnx22ax0(x0)的两个根为x，x.12不妨设xx0，21lnx122ax1lnx2lnx1∴，∴2ax2x1lnx2lnx1.∴a，lnx222ax22x2x11要证：xx，12ax2212x2x12x2x1x2x1只需证xxlnxlnxln.1221lnx2lnx1x1x2x1x21x1x2(t1)2令t1，F(x)lnt(t1).xt112(t1)∴F'(t)0在t1,恒成立，∴F(x)在t1,为增函数，∴F(x)f10，2t(t1)1∴xx.12ax2（ii）∵x3x0，∴t3，21x1lnx22ax11∵，∴lnx2lnx142ax2x1，lnx22ax22x21lnxlnxxx2112∴lnxlnx4xx，∴lnxx4ln，211212x2x1x21x1x11t2lnt(t1)t令G(x)lnt(t3)，∴G'(t)(t3)，2t1(t1)21(t1)令h(t)tlnt(t3)，∴h'(t)0，2tt1t2lntt∴h(x)在t1,为增函数，∴h(x)h(3)h(1)0，∴G'(t)0，2(t1)∴G(x)在t3,为增函数，∴G(x)G(3)2ln3ln9.99∴lnxlnx4ln9，∴lnxxln，∴xx，21124124ee96∴xx2xx2，121242ee6∴xx.122e