夷陵中学2022届高三五月第二次限时训练数学试卷一、单项选择题:本题共8道小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，复数z=，则|z－i|=（）A.B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】先对复数进行化简，求出的值，再利用复数的模长计算公式计算可得答案.【详解】解：z===2(1+i)，所以|z－i|=|2＋i|=.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题.2.已知均为的子集，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.【详解】解法一：,，据此可得.故选：B.解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，矩形区域CDFG表示集合N，满足，结合图形可得：.故选：B.\n3.向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（）A.1.5B.2C.-4.5D.-3【答案】D【解析】【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，，则，所以.故选：D4.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称.若\n，则（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】根据角的对称得到，，以及两角差的余弦公式即可求出．【详解】解：角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，，，．故选：．5.关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程的两根，进而可得出结论.【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于方程的一根为，由于两根之和为，则该方程的另一根为，两根异号，合乎题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一根，由于两根之和为，则另一根也为，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于的方程的两根为和，两根同号，不合乎题意；\n若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于的方程的两根为和，两根之和为，不合乎题意.综上所述，甲命题为假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.6.有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，…，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（）A.0.003B.0.096C.0.121D.0.216【答案】B【解析】【分析】直接通过两种方法求出，作差取绝对值即可求出结果.【详解】，又与实际的的误差绝对值近似为.故选：B.7.、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】\n【分析】利用勾股定理结合双曲线的定义可求得，结合平面向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】在双曲线中，，，，则、，因为直线过点，由图可知，直线的斜率存在且不为零，，则为直角三角形，可得，由双曲线的定义可得，所以，，可得，联立，解得，因此，.故选：C.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．8.若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数\n具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（）A.只有B.只有C.和D.和都不是【答案】C【解析】【分析】对于，当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可得成立；对于，取同理可得出结论．【详解】：当，，因为函数单调递减，所以即，存在，当满足命题时，具有性质P.：当时，，因为函数单调递增，所以，即，存在，当满足命题时，具有性质P.综上可知命题、都是具有性质P的充分条件．故选：C【点睛】本题考查函数的新定义、函数的单调性以及不等式的性质，考查了理解辨析能力、运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题．二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫\n取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中正确的是（）A.精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少B.精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】BCD【解析】【分析】设精准扶贫及新农村建设前和后的经济收入分别为和，根据饼状图依次验证各项收入是否满足选项中的要求，由此可得结论.【详解】设精准扶贫及新农村建设前，经济收入为，则精准扶贫及新农村建设后，经济收入为；对于A，精准扶贫及新农村建设前，种植收入为；精准扶贫及新农村建设后，种植收入为；，精准扶贫及新农村建设后，种植收入增加，A错误；对于B，精准扶贫及新农村建设前，其他收入为；精准扶贫及新农村建设后，其他收入为；\n，精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上，B正确；对于C，精准扶贫及新农村建设前，养殖收入为；精准扶贫及新农村建设后，养殖收入为；，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍，C正确；对于D，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入之和的占比为，超过了总收入的一半，D正确.故选：BCD.10.已知正四棱柱底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）A.若，则满足条件的点有且只有一个B.若，则点的轨迹是一段圆弧C.若∥平面，则长的最小值为2D.若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为【答案】ABD【解析】【分析】若，由于与重合时，此时点唯一；，则，即点的轨迹是一段圆弧；当为中点时，DP有最小值为，可判断C；平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，可得D.\n【详解】如图：∵正四棱柱的底面边长为2，∴，又侧棱，∴，则与重合时，此时点唯一，故A正确；∵，，则，即点的轨迹是一段圆弧，故B正确；连接，，可得平面平面，则当为中点时，DP有最小值为，故C错误；由C知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.11.摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（）\nA.摩天轮离地面最近的距离为4米B.若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则C.若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30D.，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米【答案】BC【解析】【分析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D.【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；分钟后，转过的角度为，则，B正确；周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，则，又高度相等，则关于对称，则，则；令，解得，令，解得，则在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，所以在只有一个解；故选:BC.【点睛】关键点睛:\n本题的关键是求出关于的表达式，结合三角函数的性质进行判断.12.一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼猫是黑猫”，，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】10只猫先后出笼的顺序为，第只出笼的猫是黑猫，即可先从4只黑猫中选出已知，而其余9个位置的猫们可任意排列，即可得到，对A，事件表示“第1，2只出笼的猫都是黑猫”，即可求解判断；对B，事件表示“第1只或第2只出笼的猫是黑猫”，则根据即可求解判断；对C，D，结合条件概率公式即可求解判断.【详解】由题，，事件表示“第1，2只出笼的猫都是黑猫”，则，故A错误；事件表示“第1只或第2只出笼的猫是黑猫”，则，故B正确；则，故C正确；事件表示“第2，10只出笼的猫是黑猫”，则，\n则，故D正确，故选：BCD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的图像在点处的切线方程为_________.【答案】【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，从而求出切线方程.【详解】，，则切线方程为：，整理得：故答案为：14.写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前项和在时取最大值，_____.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】可以利用等差数列的前项和公式和二次函数的性质求解即可.【详解】对于等差数列，其前项和，由二次函数的性质可知，数列前项和在或时取到最大值，故答案为：（答案不唯一）15.已知函数，若，则实数=______.【答案】【解析】【分析】由对数的运算得出，再由在上单调递增，\n得出，进而解出.【详解】因为，所以因为在上单调递增，所以当时，故，即，解得故答案为：16.已知椭圆，若存在以点为圆心，为半径的，该圆与椭圆E恰有两个公共点，且圆上其余各点均在椭圆内部，则t的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】设圆方程为，与椭圆方程联立方程组，消去后，关于的方程有两个相等实根，，求得相等实根，由根在上得的范围．【详解】设圆方程为，由得（*），因为圆与椭圆恰有两个公共点，所以，，此时方程（*）的解是，由得．故答案为：．【点睛】结论点睛：本题考查圆与椭圆的公共点问题，解题方法利用方程组的解的情况确定公共点的个数，圆心在轴上的圆与椭圆只有两个公共点，则两方程联立消去得关于的方程，此方程有两个相等实根，且实根在区间上．四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列公差不为零，，，数列各项均为正数，\n，.（1）求数列、的通项公式；（2）若恒成立，求实数的最小值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式，分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；（2）分析可知恒成立，设，分析数列的单调性，可求得出数列的最大项的值，可得出实数的取值范围，即可得解.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，因为，即，解得，所以，，因为，所以，，因为，所以，，又，所以，，所以，，所以，是以为首项，为公比的等比数列，故.【小问2详解】\n解：因为，，所以，，即恒成立，设，则，当时，；当时，；当时，.所以，或时，为的最大项．所以，，故实数的最小值为．18.在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出的长．①；②截得角的角平分线的线段长为1；③面积为．【答案】（1）；（2）若选②，；若选③，【解析】【分析】（1）先由正弦定理得到，再借助正弦和角公式求出再由正切和角公式求出，即可求得角；（2）若选①，由推出矛盾；若选②，由角平分线求得，再由求解；若选③，由及求解即可.【小问1详解】由正弦定理得，又，可得，即，\n又，故，又，故由可得，即，故，.【小问2详解】若选①，由（1）知，和矛盾，不存在；若选②，由为角的角平分线可知：，又，故，即，又，故；此时存在且唯一确定；若选③，，又，，解得；此时存在且唯一确定.19.如图1，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，将矩形ABCD沿EF翻折.\n（1）若所成二面角的大小为（如图2），求证：直线面DBF；（2）若所成二面角的大小为（如图3），点M在线段AD上，当直线BE与面EMC所成角为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题设易知，再由面面垂直的性质可得面，根据线面垂直的性质有，最后由线面垂直的判定即可证结论.（2）过作面，构建空间直角坐标系并设且，求出面法向量、直线BE的方向向量，根据线面角的大小，结合空间向量夹角的坐标表示列方程求出参数m，再确定面的法向量，应用向量法求二面角的余弦值即可.【小问1详解】由题设易知：是边长为2的正方形，是的对角线，所以，又面面，面面，，面，所以面，又面，则，又，则面.【小问2详解】过作面，而面，则，，而，\n可构建如下图示的空间直角坐标系，由题设知：，所以，，，且，则，，，若是面的一个法向量，则，令，则，，可得，则，又是面的一个法向量，所以，则锐二面角的余弦值为.20.“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的道“是非判断”题和道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；\n（2）已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；②求随机变量的方差.【答案】（1）（2）①或，理由见解析；②【解析】【分析】（1）分甲同学答对四道、五道、六道题，分析出是非判断题和信息连线题答对的题的数量，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）①分析可知，设最大，可得出，解出的取值范围，即可得解；②利用二项分布的方差公式可求得的值.【小问1详解】解：记事件甲同学晋级成功，则事件包含以下几种情况：①事件“共答对四道”，即答对余下的是非判断题，答错两道信息连线题，则.②事件“共答对五道”，即答错余下是非判断题，答对余下的三道信息连线题，则.③事件“共答对六道”，即答对余下的四道问题，，所以.【小问2详解】解：①由题意可知，设最大，\n则，即，可得，解得，即最有可能取的值为或；②由二项分布的方差公式可得.21.已知点在抛物线上，点（其中）.如图过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在点的上方），直线与抛物线交于另一点.（1）记，当时，求的值；（2）若面积大于27，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出抛物线方程，即可求出直线，的方程，再联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，再根据两点的距离公式求出，，，，即可得解；（2）设，，即可得到的方程，从而得到点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出\n，再由点到直线的距离公式求出到直线的距离，即可得到，再利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围，从而得到的取值范围；【小问1详解】解：由题可知：，所以，所以抛物线方程为.当时，，所以，，联立，消去得，解得或，所以，.所以，，∴，又，消去整理得，解得，，所以，所以，，∴.所以.【小问2详解】解：设，，则.令，则，即.所以.联立，消元整理得，解得、，∴.\n而，∴因为且，所以.所以.令，则.∴在上单调递减.又当时，.所以当时，.∴.22.青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知函数，若，则曲线在点处的曲率为．\n（1）求；（2）若函数存在零点，求的取值范围；（3）已知，，，证明：．【答案】（1）1；（2）；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）将代入并计算，，根据曲率直接计算即可.（2）等价转化为有根，然后令并研究其性质，最后进行判断可得结果.（3）依据（2）条件可知，然后根据判断即可.【详解】（1）当时，，．，．∴在处的曲率为．（2）令，则当时，，当时，\n所以函数在单调递增，在单调递减，所以，则又令，则当时，，当时，所以函数在单调递增，在单调递减所以令，∴，当且仅当时取“”，显然，当时，无零点．当时，，∴存在使，符合题意．综上：实数的取值范围为．（3）由（2）知，∴（当且仅当时取“”）∴，∴又∵，∴综上：．【点睛】关键点点睛：第（1）问关键在于求导；第（2）问关键在于等价转化的使用以及常\n用不等式（）的使用以及放缩法；第（3）问在于利用第（2）问的条件进行比较.
